描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？
- A滚雪球抽样
- B随机抽样
- C系统抽样
- D分层抽样
2.心理学研究方法困难
一项研究报告了两个人数相等的独立组的 t(28) = 2.50，p = .018。共有多少名参与者？
- A28
- B56
- C30
- D29
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 16, 23, 33, 15, 59。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 76 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 10x = 76
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.3, 0.3, 0.05
Var(X) =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.2, 0.15Y = 10X − 3
σY =
7.正态分布中等
X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 98.6 s 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 98.6 s
P =
8.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
9.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 15，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 21x̄ = 15s = 4.595%t(20) = 2.086
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 27E = 395%
n =
11.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 117.9，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 117.9s = 8n = 49
t =
12.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 0.599%
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 8 时的 ŷ。
n = 5x = 8
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 滚雪球抽样
为什么是这个答案
滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。
答案
A · 滚雪球抽样
2.心理学研究方法
答案: C · 30
为什么是这个答案
自由度为 28 意味着有 28 + 2 = 30 名参与者，每组 15 人。
答案
C · 30
3.描述统计
答案: s = 19.35
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/6 = 33.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 21.5² + (−17.5)² + (−10.5)² + (−0.5)² + (−18.5)² + 25.5² = 1872
标准差
s = √(1872/5) = 19.35
答案
s = 19.35
4.描述统计
答案: P = 0.7257
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
答案
P = 0.7257
5.概率
答案: Var(X) = 84.75
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 10·0.35 + 20·0.3 + 30·0.3 + 40·0.05 = 20.5
平方的均值
E(X²) = 100·0.35 + 400·0.3 + 900·0.3 + 1600·0.05 = 505
方差
Var(X) = 505 − 20.5² = 84.75
答案
Var(X) = 84.75
6.概率
答案: σY = 10.62
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.15, Var(X) = 1.128, σX = 1.062
线性变换
σY = |10|·1.062 = 10.62
答案
σY = 10.62
均值确实会改变：E(Y) = 10·1.15 − 3 = 8.5。
7.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
标准化
z = (98.6 − 105)/6.403 = −1
上尾
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
8.正态分布
答案: x = 527 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h
答案
x = 526.98 h
9.置信区间
答案: E = 2.048
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.086
误差范围
E = 2.086·4.5/√21 = 2.048
答案
E = 2.048
10.置信区间
答案: n = 312
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·27/3)² = 311.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 312
答案
n = 312
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.837
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
检验统计量
t = (117.9 − 120)/1.143 = −1.837
答案
t = −1.837
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 10618
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·20/0.5)² = 10617
向上取整
n = 10618
答案
n = 10618
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9668
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 424/6 = 70.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1147
相关系数
r = 274/√(70·1147) = 0.9668
答案
r = 0.9668
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 59.7
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 288/5 = 57.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
回归直线
b = 84/40 = 2.1
a = 57.6 − 2.1·7 = 42.9
ŷ = 42.9 + 2.1·x
预测
ŷ = 42.9 + 2.1·8 = 59.7
答案
ŷ = 59.7
15.卡方检验
答案: χ² = 0.9444
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·12/80 = 6, 40·32/80 = 16, 40·36/80 = 18
夜班: 40·12/80 = 6, 40·32/80 = 16, 40·36/80 = 18
卡方统计量
χ² = (6 − 6)²/6 + (18 − 16)²/16 + (16 − 18)²/18 + (6 − 6)²/6 + (14 − 16)²/16 + (20 − 18)²/18
χ² = 0.9444
答案
χ² = 0.9444
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 11.35
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
答案
χ²crit = 11.345
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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