描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一个 15 题焦虑量表的 Cronbach's α 为 0.88，这表明：
- A该量表对焦虑有显著影响
- B题目具有良好的内部一致性
- C分数在六个月内保持稳定
- D该量表能很好地预测未来的焦虑
2.心理学研究方法困难
一名研究者对一个数据集进行了 20 次分析，只报告了 p < 0.05 的那一次。这种做法称为：
- A平衡抵消
- Bp 值操纵（p-hacking）
- C预注册
- D三角验证
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：48, 17, 54, 26, 56。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值高于 45 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 10x = 45
P =
5.概率中等
袋中有 6 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 9
P =
6.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.4
P =
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 167.85 和 183.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 167.85x2 = 183.95
P =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 64.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 64.5s = 1395%t(8) = 2.306
下限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 38E = 2.590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.64，差值的标准差为 2.4。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 9d̄ = 2.64sd = 2.4
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 12。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 3σ = 12zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 19)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(2.5, 19)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1202 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 3 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 题目具有良好的内部一致性
为什么是这个答案
Cronbach's α 估计内部一致性；约 0.7 或以上通常被认为可以接受。它本身并不能说明效度。
答案
B · 题目具有良好的内部一致性
2.心理学研究方法
答案: B · p 值操纵（p-hacking）
为什么是这个答案
p 值操纵利用分析中的灵活性来获得显著性，使假阳性率远高于 5%。预注册和透明报告可以减少这种做法。
答案
B · p 值操纵（p-hacking）
3.描述统计
答案: s = 17.61
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 201/5 = 40.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.8² + (−23.2)² + 13.8² + (−14.2)² + 15.8² = 1241
标准差
s = √(1241/4) = 17.61
答案
s = 17.61
4.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
5.概率
答案: P = 0.1429
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429
答案
P = 0.1429
6.概率
答案: P = 0.04636
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.610 = 0.006047
P(X = 1) = 10·0.4·0.69 = 0.04031
相加
P = 0.006047 + 0.04031 = 0.04636
答案
P = 0.04636
7.正态分布
答案: P = 0.7288
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45
z₂ = (183.95 − 178)/7 = 0.85
中间面积
P = Φ(0.85) − Φ(−1.45) = 0.8023 − 0.07353 = 0.7288
答案
P = 0.7288
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: 下限 = 54.51
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·13/√9 = 9.993
区间
64.5 ± 9.993 → [54.51, 74.49]
答案
下限 = 54.51
10.置信区间
答案: n = 626
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·38/2.5)² = 625.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 626
答案
n = 626
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 2.4/√9 = 0.8
检验统计量
t = 2.64/0.8 = 3.3
答案
t = 3.3
df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 138
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·12/3)² = 137.1
向上取整
n = 138
答案
n = 138
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9686
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 509/5 = 101.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1799
决定系数
r² = 396²/(90·1799) = 0.9686
答案
r² = 0.9686
y 的变异中约有 96.86% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: e = −2.029
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 108/6 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53
回归直线
b = −53/17.5 = −3.029
a = 18 − (−3.029)·3.5 = 28.6
ŷ = 28.6 − 3.029·x
预测值
ŷ = 28.6 + (−3.029)·2.5 = 21.03
残差
e = 19 − 21.03 = −2.029
答案
e = −2.029
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: χ² = 2.222
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36
女性: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36
卡方统计量
χ² = (20 − 24)²/24 + (40 − 36)²/36 + (28 − 24)²/24 + (32 − 36)²/36
χ² = 2.222
答案
χ² = 2.222
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology