描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
一名研究者向所有学生发放问卷，然后请受访者招募同样使用某款小众睡眠应用的朋友。第二步使用的是哪种抽样方法？
- A随机抽样
- B滚雪球抽样
- C分层抽样
- D系统抽样
2.心理学研究方法困难
一个心理学系只从心理学导论课中招募参与者。批评者说这些样本是"WEIRD"的。这指的是什么？
- A行为异常古怪的样本
- B早早退出研究的样本
- C用加权随机方法招募的样本
- D西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：58, 45, 16, 30, 54, 41。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 195 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 195
P =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.05, 0.2, 0.25
Var(X) =
6.概率困难
测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 11p = 0.3
P =
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0188。求 z，保留两位小数。
A = 0.0188
z =
8.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
9.置信区间中等
测量 8 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −7.2，标准差为 3.9。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 8d̄ = −7.2sd = 3.999%t(7) = 3.499
E = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 28E = 495%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 499.1，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 499.1s = 4n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 2σ = 14zα = 1.645zβ = 1.645
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。
n = 6x = 7
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 3
χ² =
16.卡方检验困难
对一个 2 行 2 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
2 × 2
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 滚雪球抽样
为什么是这个答案
滚雪球抽样适用于难以接触的群体，但样本很可能具有相似特征，不具代表性。
答案
B · 滚雪球抽样
2.心理学研究方法
答案: D · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
为什么是这个答案
Henrich 及其同事指出，大多数心理学研究参与者来自 WEIRD 社会，这些社会不能代表全人类，从而威胁总体效度。
答案
D · 西方的、受过教育的、工业化的、富裕的和民主的样本，可能无法推广
3.描述统计
答案: s = 15.62
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 244/6 = 40.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = 17.33² + 4.333² + (−24.67)² + (−10.67)² + 13.33² + 0.3333² = 1219
标准差
s = √(1219/5) = 15.62
答案
s = 15.62
4.描述统计
答案: P = 0.1056
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.25
标准正态分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答案
P = 0.1056
5.概率
答案: Var(X) = 2.728
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.05 + 3·0.2 + 4·0.25 = 1.85
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.05 + 9·0.2 + 16·0.25 = 6.15
方差
Var(X) = 6.15 − 1.85² = 2.728
答案
Var(X) = 2.728
6.概率
答案: P = 0.113
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.711 = 0.01977
P(X = 1) = 11·0.3·0.710 = 0.09322
相加
P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113
答案
P = 0.113
7.正态分布
答案: z = 2.08
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0188 = 0.9812
反向查 z 表
在表中找到 0.9812，读出 z。
z = 2.08
答案
z = 2.08
8.正态分布
答案: x = 527 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h
答案
x = 526.98 h
9.置信区间
答案: E = 4.825 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·3.9/√8 = 4.825
答案
E = 4.825 mmHg
10.置信区间
答案: n = 189
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·28/4)² = 188.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 189
答案
n = 189
11.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
检验统计量
t = (499.1 − 500)/1 = −0.9
答案
t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 531
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·14/2)² = 530.4
向上取整
n = 531
答案
n = 531
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9786
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 466/6 = 77.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3035
决定系数
r² = 456²/(70·3035) = 0.9786
答案
r² = 0.9786
y 的变异中约有 97.86% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 25.17
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 151/6 = 25.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237
回归直线
b = 237/70 = 3.386
a = 25.17 − 3.386·7 = 1.467
ŷ = 1.467 + 3.386·x
预测
ŷ = 1.467 + 3.386·7 = 25.17
答案
ŷ = 25.17
15.卡方检验
答案: χ² = 7.972
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24
教职工: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32
卡方统计量
χ² = (21 − 18)²/18 + (23 − 18)²/18 + (16 − 24)²/24 + (21 − 24)²/24 + (19 − 24)²/24 + (40 − 32)²/32
χ² = 7.972
答案
χ² = 7.972
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: df = 1
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1
答案
df = 1
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