描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
要获得一个一、二、三年级学生比例与全校总体相同的样本，研究者应使用：
- A分层抽样
- B志愿者抽样
- C滚雪球抽样
- D机会抽样
2.心理学研究方法困难
研究者比较三个或更多组的平均数。为什么用单因素方差分析而不是做多次 t 检验？
- A方差分析总是比相应的一组 t 检验发现更大的效应
- Bt 检验无法处理大于 100 的数字
- Ct 检验需要质性数据
- D多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：14, 49, 44, 42, 52, 21, 22。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。求成绩 32 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 15x = 32
z =
5.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.2, 0.35, 0.1, 0.15
σ =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.2 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.2€40: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 172.4 和 185.35 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 172.4x2 = 185.35
P =
8.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
9.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −5.2，标准差为 8。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 20d̄ = −5.2sd = 899%t(19) = 2.861
E = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 26E = 299%
n =
11.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 76.5，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 76.5s = 5n = 16
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 24。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 24zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 36？
n = 6ŷ = 36
x =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 5 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: A · 分层抽样
为什么是这个答案
分层抽样先识别子群体（层），再按其在总体中的规模比例从每层中随机抽样，使样本更具代表性。
答案
A · 分层抽样
2.心理学研究方法
答案: D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
为什么是这个答案
做许多两两比较会成倍增加假阳性的机会。方差分析同时检验所有组，之后再进行经过校正的事后检验。
答案
D · 多次 t 检验会使总体第一类错误率膨胀
3.描述统计
答案: s = 15.39
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 244/7 = 34.86
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−20.86)² + 14.14² + 9.143² + 7.143² + 17.14² + (−13.86)² + (−12.86)² = 1421
标准差
s = √(1421/6) = 15.39
答案
s = 15.39
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (32 − 50)/15 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: σ = 1.288
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.2 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.1 + 5·0.15 = 2.8
平方的均值
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.1 + 25·0.15 = 9.5
方差
Var(X) = 9.5 − 2.8² = 1.66
σ = √1.66 = 1.288
答案
σ = 1.288
6.概率
答案: E(G) = 0.4 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.2), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.79)
期望值
E(G) = 8·0.2 + 38·0.01 − 2·0.79 = 0.4 €
答案
E(G) = 0.4 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.6413
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8
z₂ = (185.35 − 178)/7 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(−0.8) = 0.8531 − 0.2119 = 0.6413
答案
P = 0.6413
8.正态分布
答案: x = 183.9 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm
答案
x = 183.89 cm
9.置信区间
答案: E = 5.118 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·8/√20 = 5.118
答案
E = 5.118 mmHg
10.置信区间
答案: n = 1122
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·26/2)² = 1121
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1122
答案
n = 1122
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25
检验统计量
t = (76.5 − 75)/1.25 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 300
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·24/5)² = 299.9
向上取整
n = 300
答案
n = 300
13.线性回归与相关
答案: r² = 0.9052
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 267/6 = 44.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109
Syy = Σ(y − ȳ)² = 187.5
决定系数
r² = 109²/(70·187.5) = 0.9052
答案
r² = 0.9052
y 的变异中约有 90.52% 可由该直线解释。
14.线性回归与相关
答案: x = 6.556
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 210/6 = 35
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
回归直线
b = 126/70 = 1.8
a = 35 − 1.8·6 = 24.2
ŷ = 24.2 + 1.8·x
解出 x
x = (36 − 24.2)/1.8 = 6.556
答案
x = 6.556
15.卡方检验
答案: χ² = 48.17
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 100·98/140 = 70, 100·42/140 = 30
不吸烟者: 40·98/140 = 28, 40·42/140 = 12
卡方统计量
χ² = (87 − 70)²/70 + (13 − 30)²/30 + (11 − 28)²/28 + (29 − 12)²/12
χ² = 48.17
答案
χ² = 48.17
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
16.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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