描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
同样的 25 名参与者在摄入咖啡因前后各完成一次记忆测验。分数为等距数据且大致正态。哪种检验合适？
- AMann–Whitney U 检验
- B配对（相关）样本 t 检验
- C卡方检验
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
一名研究者测量噪音对注意力集中的影响。噪音条件下的参与者恰好在上午测试，安静条件下的参与者在下午测试。问题是什么？
- A一天中的时间是混淆变量
- B研究的条件太多
- C一天中的时间是因变量
- D数据是称名水平的
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：54, 53, 45, 18, 35, 53。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。求成绩 158 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 10x = 158
z =
5.概率中等
袋中有 8 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 6
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €3，以概率 0.02 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€3: p = 0.25€10: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 35.1 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.1 min
P =
8.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 97.5%
x = 分
9.置信区间中等
测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −0.7，标准差为 1.1。 求平均差值的 99% 置信区间的上限。
n = 10d̄ = −0.7sd = 1.199%t(9) = 3.25
上限 = mmHg
10.置信区间困难
总体标准差为 8。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 8E = 190%
n =
11.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 75.7，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 75.7s = 8n = 64
t =
12.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 200.8。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 200.8σ = 12n = 10090%
U =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 132Σy = 732Σx² = 2974Σy² = 92444Σxy = 16564
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3, 52)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3, 52)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 67列合计 = 61N = 190
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 5 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: B · 配对（相关）样本 t 检验
为什么是这个答案
配对 t 检验利用每个人内部的差值，比较同一批参与者在两种条件下的平均数。
答案
B · 配对（相关）样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: A · 一天中的时间是混淆变量
为什么是这个答案
由于噪音和测试时间一起变化，任何差异都可能由其中任何一个引起。随机安排测试时间或保持时间不变可以消除这一混淆。
答案
A · 一天中的时间是混淆变量
3.描述统计
答案: s = 14.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 258/6 = 43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 11² + 10² + 2² + (−25)² + (−8)² + 10² = 1014
标准差
s = √(1014/5) = 14.24
答案
s = 14.24
4.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (158 − 170)/10 = −1.2
答案
z = −1.2
5.概率
答案: P = 0.3077
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0.3077
答案
P = 0.3077
6.概率
答案: E(G) = −0.05 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.25), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)
期望值
E(G) = 2·0.25 + 9·0.02 − 1·0.73 = −0.05 €
答案
E(G) = −0.05 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: P = 0.1075
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24
上尾
P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075
答案
P = 0.1075
8.正态分布
答案: x = 129.4 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分
答案
x = 129.4 分
9.置信区间
答案: 上限 = 0.4305 mmHg
差值的区间：估计值 ± 临界值 × 标准误。对 σ 已知的两个独立均值：SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)，用 z。方差相等但未知时：用合并的 s_p 和自由度为 n₁ + n₂ − 2 的 t。对配对数据，用差值计算：d̄ ± t·s_d/√n。
临界值
df = 9, t = 3.25
误差范围
E = 3.25·1.1/√10 = 1.131
区间
−0.7 ± 1.131 → [−1.831, 0.4305]
答案
上限 = 0.4305 mmHg
10.置信区间
答案: n = 174
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·8/1)² = 173.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 174
答案
n = 174
11.假设检验与置信区间
答案: t = 0.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
检验统计量
t = (75.7 − 75)/1 = 0.7
答案
t = 0.7
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: U = 202.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√100 = 1.974
区间端点
U = 200.8 + 1.974 = 202.8
答案
U = 202.8
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9812
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 16564 − 132·732/6 = 460
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 92444 − 732²/6 = 3140
相关系数
r = 460/√(70·3140) = 0.9812
答案
r = 0.9812
14.线性回归与相关
答案: e = −4.55
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 375/5 = 75
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246
回归直线
b = 246/40 = 6.15
a = 75 − 6.15·6 = 38.1
ŷ = 38.1 + 6.15·x
预测值
ŷ = 38.1 + 6.15·3 = 56.55
残差
e = 52 − 56.55 = −4.55
答案
e = −4.55
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 21.51
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 67·61/190 = 21.51
答案
E = 21.51
16.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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