心理学研究方法与统计：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.心理学研究方法中等

需求特征是：

A统计检验的前提条件
B伦理委员会在研究开始之前提出的正式要求
C样本的特征
D使参与者猜到研究目的并改变行为的线索

2.心理学研究方法困难

一名研究者测量噪音对注意力集中的影响。噪音条件下的参与者恰好在上午测试，安静条件下的参与者在下午测试。问题是什么？

A一天中的时间是混淆变量
B一天中的时间是因变量
C研究的条件太多
D数据是称名水平的

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 33, 59, 19, 58。

n = 5

s =

4.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。求成绩 177.2 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 12x = 177.2

z =

5.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

6.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.25, 0.15Y = 5X − 3

σ_Y =

7.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9342。求 z，保留两位小数。

A = 0.9342

z =

8.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分5%

x = 分

9.置信区间中等

一个包含 21 个个体的样本，均值为 78.5，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 21x̄ = 78.5s = 1499%t(20) = 2.845

上限 =

10.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：11 块地，平均产量 95.5 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：5 块地，均值 86.5 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 11x̄₁ = 95.5s₁ = 4.5n₂ = 5x̄₂ = 86.5s₂ = 7.599%t(14) = 2.977

上限 = kg

11.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 108，标准差 11。第 2 组：6 名学生，平均分 96，标准差 4.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 8x̄₁ = 108s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 96s₂ = 4.5

t =

12.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 7.5。实际上均值为 503.6。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 503.6σ = 7.5n = 25α = 0.05

β = %

13.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 377Σx² = 220Σy² = 29491Σxy = 2468

r =

14.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 19.5 时的 ŷ。

n = 6x = 19.5

ŷ =

15.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2002 × 2

χ² =

16.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.心理学研究方法

答案: D · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索

为什么是这个答案

当参与者猜出假设时，可能会做出证实或破坏它的行为，从而威胁效度。欺骗和盲法可以减少这种情况。

答案

D · 使参与者猜到研究目的并改变行为的线索

2.心理学研究方法

答案: A · 一天中的时间是混淆变量

为什么是这个答案

由于噪音和测试时间一起变化，任何差异都可能由其中任何一个引起。随机安排测试时间或保持时间不变可以消除这一混淆。

答案

A · 一天中的时间是混淆变量

3.描述统计

答案: s = 17.72

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 200/5 = 40

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−7)² + 19² + (−21)² + 18² = 1256

标准差

s = √(1256/4) = 17.72

答案

s = 17.72

4.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (177.2 − 170)/12 = 0.6

答案

z = 0.6

5.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

6.概率

答案: σ_Y = 5.025

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.3, Var(X) = 1.01, σ_X = 1.005

线性变换

σ_Y = |5|·1.005 = 5.025

答案

σ_Y = 5.025

均值确实会改变：E(Y) = 5·1.3 − 3 = 3.5。

7.正态分布

答案: z = 1.84

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9342)/2 = 0.9671

反向查 z 表

在表中找到 0.9671，读出 z。

z = 1.84

答案

z = 1.84

8.正态分布

答案: x = 75.4 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分

答案

x = 75.4 分

9.置信区间

答案: 上限 = 87.19

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.845

误差范围

E = 2.845·14/√21 = 8.692

区间

78.5 ± 8.692 → [69.81, 87.19]

答案

上限 = 87.19

10.置信区间

答案: 上限 = 17.87 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (10·4.5² + 4·7.5²)/14 = 30.54

s_p = 5.526

误差范围

E = 2.977·5.526·√(1/11 + 1/5) = 8.873

区间

9 ± 8.873 → [0.1272, 17.87]

答案

上限 = 17.87 kg

11.假设检验与置信区间

答案: t = 2.5

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (7·11² + 5·4.5²)/12 = 79.02

s_p = 8.889

标准误

SE = 8.889·√(1/8 + 1/6) = 4.801

检验统计量

t = (108 − 96)/4.801 = 2.5

答案

t = 2.5

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

12.假设检验与置信区间

答案: β = 22.51 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 7.5/√25 = 1.5

x̄_c = 500 + 1.645·1.5 = 502.5

真实均值下的 z

z = (502.5 − 503.6)/1.5 = −0.755

第二类错误

功效 = P(Z > −0.755) = 77.49%

β = 100% − 77.49% = 22.51%

答案

β = 22.51%

13.线性回归与相关

答案: r = 0.998

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2468 − 30·377/5 = 206

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 29491 − 377²/5 = 1065

答案

r = 0.998

14.线性回归与相关

答案: ŷ = 89.61

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 693/6 = 115.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 679.5

回归直线

b = 679.5/157.5 = 4.314

a = 115.5 − 4.314·25.5 = 5.486

ŷ = 5.486 + 4.314·x

预测

ŷ = 5.486 + 4.314·19.5 = 89.61

答案

ŷ = 89.61

15.卡方检验

答案: χ² = 26.47

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

新药: 80·130/200 = 52, 80·70/200 = 28

安慰剂: 120·130/200 = 78, 120·70/200 = 42

卡方统计量

χ² = (35 − 52)²/52 + (45 − 28)²/28 + (95 − 78)²/78 + (25 − 42)²/42

χ² = 26.47

答案

χ² = 26.47

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

16.卡方检验

答案: χ²_crit = 13.28

自由度

df = 6 − 1 − 1 = 4

表

χ²_crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

答案

χ²_crit = 13.277

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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