描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
在完全正态分布中：
- A众数是最低分
- B平均数总是大于中位数
- C平均数、中位数和众数相等
- D大多数分数位于尾部
2.心理学研究方法困难
一名研究者对一个数据集进行了 20 次分析，只报告了 p < 0.05 的那一次。这种做法称为：
- A平衡抵消
- B预注册
- C三角验证
- Dp 值操纵（p-hacking）
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 32, 19, 43, 23, 15。
n = 6
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值低于 160 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 160
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.1 赢得 €5，以概率 0.02 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.1€10: p = 0.02
E(G) = €
7.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9429。求 z，保留两位小数。
A = 0.9429
z =
8.正态分布困难
1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 30，标准差 s = 20。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 25x̄ = 30s = 2090%t(24) = 1.711
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 9E = 0.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 79.25，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 79.25s = 15n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 498。总体标准差为 12。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 498σ = 12n = 10095%
L =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 120Σy = 482Σx² = 2470Σy² = 40698Σxy = 10006
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 16 时的 ŷ。
n = 6x = 16
ŷ =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 102列合计 = 47N = 189
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: C · 平均数、中位数和众数相等
为什么是这个答案
正态分布是对称的钟形，因此三种集中趋势指标都落在中心。
答案
C · 平均数、中位数和众数相等
2.心理学研究方法
答案: D · p 值操纵（p-hacking）
为什么是这个答案
p 值操纵利用分析中的灵活性来获得显著性，使假阳性率远高于 5%。预注册和透明报告可以减少这种做法。
答案
D · p 值操纵（p-hacking）
3.描述统计
答案: s = 10.39
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 165/6 = 27.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 5.5² + 4.5² + (−8.5)² + 15.5² + (−4.5)² + (−12.5)² = 539.5
标准差
s = √(539.5/5) = 10.39
答案
s = 10.39
4.描述统计
答案: P = 0.3085
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答案
P = 0.3085
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: E(G) = −0.3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.1), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.88)
期望值
E(G) = 4·0.1 + 9·0.02 − 1·0.88 = −0.3 €
答案
E(G) = −0.3 €
负值表示平均而言你会亏钱。
7.正态分布
答案: z = −1.58
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9429 = 0.0571
反向查 z 表
在表中找到 0.0571，读出 z。
z = −1.58
答案
z = −1.58
8.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
标准化
z = (0 − 10)/10 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
9.置信区间
答案: 上限 = 36.84
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 1.711
误差范围
E = 1.711·20/√25 = 6.844
区间
30 ± 6.844 → [23.16, 36.84]
答案
上限 = 36.84
10.置信区间
答案: n = 1245
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·9/0.5)² = 1245
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1245
答案
n = 1245
11.假设检验与置信区间
答案: t = 1.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (79.25 − 75)/2.5 = 1.7
答案
t = 1.7
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 495.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·12/√100 = 2.352
区间端点
L = 498 − 2.352 = 495.6
答案
L = 495.6
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9838
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 10006 − 120·482/6 = 366
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 40698 − 482²/6 = 1977
相关系数
r = 366/√(70·1977) = 0.9838
答案
r = 0.9838
14.线性回归与相关
答案: ŷ = 35.6
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 300/6 = 50
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252
回归直线
b = 252/70 = 3.6
a = 50 − 3.6·20 = −22
ŷ = −22 + 3.6·x
预测
ŷ = −22 + 3.6·16 = 35.6
答案
ŷ = 35.6
15.卡方检验
答案: E = 25.37
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 102·47/189 = 25.37
答案
E = 25.37
16.卡方检验
答案: χ² = 13.82
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 42, 18
31–50 岁: 28, 12
51 岁及以上: 70, 30
卡方统计量
χ² = (52 − 42)²/42 + (8 − 18)²/18 + (29 − 28)²/28 + (11 − 12)²/12 + (59 − 70)²/70 + (41 − 30)²/30
χ² = 13.82
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
13.82 > 9.210
答案
χ² = 13.82
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology