描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
发表偏倚是指：
- A研究者把同一项研究发表两次
- B审稿人偏爱来自名校作者的论文，而不是来自不知名学校作者的论文
- C期刊只发表定性研究
- D结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
2.心理学研究方法困难
为什么许多研究者主张 p 值应与效应量和置信区间一起报告？
- Ap 值显示假设为真的概率
- B效应量使样本量与显著性无关
- Cp 值不能显示效应有多大或有多精确
- D只有定性研究才需要置信区间
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 10, 49, 43, 19。
n = 5
s =
4.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值高于 64 的比例 P 是多少？
μ = 70σ = 12x = 64
P =
5.概率中等
一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 2
P =
6.概率困难
一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €15，以概率 0.01 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €3€15: p = 0.3€30: p = 0.01
E(G) = €
7.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 407.6 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10> 407.6 g
P =
8.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
9.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 51.5，标准差 s = 15.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 6x̄ = 51.5s = 15.590%t(5) = 2.015
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 16。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 16E = 390%
n =
11.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 75.84，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 75.84s = 4n = 100
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 13。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 13zα = 2.326zβ = 0.842
n =
13.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 177Σx² = 364Σy² = 6503Σxy = 1538
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 44)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(1.5, 44)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 133列合计 = 55N = 167
E =
16.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
为什么是这个答案
当不显著的研究被留在文件抽屉里时，已发表的文献会高估效应量，从而扭曲元分析。
答案
D · 结果显著的研究比零结果的研究更容易发表
2.心理学研究方法
答案: C · p 值不能显示效应有多大或有多精确
为什么是这个答案
p 值在很大程度上取决于样本量，只表明在零假设下数据有多出人意料。效应量显示大小，置信区间显示精确度。
答案
C · p 值不能显示效应有多大或有多精确
3.描述统计
答案: s = 16.67
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 160/5 = 32
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7² + (−22)² + 17² + 11² + (−13)² = 1112
标准差
s = √(1112/4) = 16.67
答案
s = 16.67
4.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
5.概率
答案: P = 0.3056
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
答案
P = 0.3056
6.概率
答案: E(G) = 1.8 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 12 (p = 0.3), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.69)
期望值
E(G) = 12·0.3 + 27·0.01 − 3·0.69 = 1.8 €
答案
E(G) = 1.8 €
正值表示平均而言你会赢钱。
7.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 400 g, σT = 1.2·√10 = 3.795 g
标准化
z = (407.6 − 400)/3.795 = 2
概率
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
答案
P = 0.02275
8.正态分布
答案: x = 565.8 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 500 + 1.645·40 = 565.8 h
答案
x = 565.8 h
9.置信区间
答案: 上限 = 64.25
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.015
误差范围
E = 2.015·15.5/√6 = 12.75
区间
51.5 ± 12.75 → [38.75, 64.25]
答案
上限 = 64.25
10.置信区间
答案: n = 77
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·16/3)² = 76.97
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 77
答案
n = 77
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4
检验统计量
t = (75.84 − 75)/0.4 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: n = 189
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 0.842)·13/3)² = 188.5
向上取整
n = 189
答案
n = 189
13.线性回归与相关
答案: r = 0.9983
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1538 − 42·177/6 = 299
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6503 − 177²/6 = 1282
相关系数
r = 299/√(70·1282) = 0.9983
答案
r = 0.9983
14.线性回归与相关
答案: e = −3.25
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 270/5 = 54
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
回归直线
b = 45/10 = 4.5
a = 54 − 4.5·3 = 40.5
ŷ = 40.5 + 4.5·x
预测值
ŷ = 40.5 + 4.5·1.5 = 47.25
残差
e = 44 − 47.25 = −3.25
答案
e = −3.25
该点位于直线下方。
15.卡方检验
答案: E = 43.8
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 133·55/167 = 43.8
答案
E = 43.8
16.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
答案
df = 6
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