描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
心理学研究方法与统计：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.心理学研究方法中等
比较两个独立组的平均数、且等距数据近似正态时，适合使用哪种检验？
- A卡方检验
- B威尔科克森符号秩检验
- C皮尔逊相关
- D独立样本 t 检验
2.心理学研究方法困难
一项只以职业篮球运动员为对象的研究发现，身高与智商的相关为 r = 0.05，而在一般人群中这一相关更高。最能解释这种弱相关的是什么？
- A向平均数回归
- B需求特征
- C智商测验的天花板效应
- D全距受限
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：25, 58, 32, 40, 16, 22。
n = 6
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 130 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 20x = 130
z =
5.概率中等
从 7 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 7k = 5
N =
6.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.3, 0.1Y = 3X + 20
σY =
7.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.5 和 255 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.5x2 = 255
P =
8.正态分布困难
运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 47.5，标准差 s = 17。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 16x̄ = 47.5s = 1790%t(15) = 1.753
上限 =
10.置信区间困难
总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 36E = 590%
n =
11.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 117.7，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 117.7s = 10n = 36
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 497。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 497σ = 5n = 25α = 0.10
1 − β = %
13.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 115Σx² = 55Σy² = 2715Σxy = 321
r =
14.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 73)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 73)
e =
15.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，中”的期望频数 E。
行合计 = 101列合计 = 79N = 168
E =
16.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2603 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.心理学研究方法
答案: D · 独立样本 t 检验
为什么是这个答案
独立样本 t 检验比较两个组的平均数。卡方检验用于频数；威尔科克森检验用于非参数数据的相关样本。
答案
D · 独立样本 t 检验
2.心理学研究方法
答案: D · 全距受限
为什么是这个答案
当样本只覆盖某个变量很窄的范围时，涉及该变量的相关就会降低。篮球运动员都很高，因此身高变化很小。
答案
D · 全距受限
3.描述统计
答案: s = 15.13
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 193/6 = 32.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−7.167)² + 25.83² + (−0.1667)² + 7.833² + (−16.17)² + (−10.17)² = 1145
标准差
s = √(1145/5) = 15.13
答案
s = 15.13
4.描述统计
答案: z = −2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (130 − 170)/20 = −2
答案
z = −2
5.概率
答案: N = 21
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21
答案
N = 21
6.概率
答案: σY = 28.26
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 22.5, Var(X) = 88.75, σX = 9.421
线性变换
σY = |3|·9.421 = 28.26
答案
σY = 28.26
均值确实会改变：E(Y) = 3·22.5 + 20 = 87.5。
7.正态分布
答案: P = 0.7745
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.5) = 0.8413 − 0.06681 = 0.7745
答案
P = 0.7745
8.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
标准化
z = (0 − 4)/5 = −0.8
概率
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
答案
P = 0.7881
9.置信区间
答案: 上限 = 54.95
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 1.753
误差范围
E = 1.753·17/√16 = 7.45
区间
47.5 ± 7.45 → [40.05, 54.95]
答案
上限 = 54.95
10.置信区间
答案: n = 141
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·36/5)² = 140.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 141
答案
n = 141
11.假设检验与置信区间
答案: t = −1.38
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
检验统计量
t = (117.7 − 120)/1.667 = −1.38
答案
t = −1.38
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 95.71 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 500 − 1.282·1 = 498.7
真实均值下的 z
z = (498.7 − 497)/1 = 1.718
功率
功效 = P(Z < 1.718) = 95.71%
1 − β = 95.71%
答案
1 − β = 95.71%
13.线性回归与相关
答案: r = −0.9071
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 321 − 15·115/5 = −24
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2715 − 115²/5 = 70
相关系数
r = −24/√(10·70) = −0.9071
答案
r = −0.9071
14.线性回归与相关
答案: e = 5.414
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 351/6 = 58.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79.5
回归直线
b = 79.5/17.5 = 4.543
a = 58.5 − 4.543·3.5 = 42.6
ŷ = 42.6 + 4.543·x
预测值
ŷ = 42.6 + 4.543·5.5 = 67.59
残差
e = 73 − 67.59 = 5.414
答案
e = 5.414
该点位于直线上方。
15.卡方检验
答案: E = 47.49
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 101·79/168 = 47.49
答案
E = 47.49
16.卡方检验
答案: χ² = 33.42
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 75, 25
31–50 岁: 45, 15
51 岁及以上: 75, 25
卡方统计量
χ² = (89 − 75)²/75 + (11 − 25)²/25 + (29 − 45)²/45 + (31 − 15)²/15 + (77 − 75)²/75 + (23 − 25)²/25
χ² = 33.42
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
33.42 > 5.991
答案
χ² = 33.42
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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