静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, −4, 7) 在 b = (4, 6, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (4, −4, 7)b = (4, 6, −1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−6, 5, −4) 和 b = (2, −6, −4)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)_y。

a = (−6, 5, −4)b = (2, −6, −4)

(a × b)_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP₁ = 40 kN 位于 1 mP₂ = 40 kN 位于 2 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP = 30 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 2 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 120 mm）的 200 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 100 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 200 NOA = 120 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2 m，顶部销钉 C 高 3 m，水平拉杆 DE 距地面 0.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.4 m，作用 10 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 10 kNAB = 2 mC 的高度 = 3 mDE 的高度 = 0.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.4 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 10 mw = 24 kN/m，从 0 到 9 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mm切口: 60 × 50 mm孔心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −2.06

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·4 + (−4)·6 + 7·(−1) = −15

b 的长度

|b| = √(4² + 6² + (−1)²) = 7.28

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −15/7.28 = −2.06

答案

comp_b a = −2.06

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_y = −32

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−4) − (−4)·(−6) = −44

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·2 − (−6)·(−4) = −32

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−6) − 5·2 = 26

所求分量

(a × b)_y = −32

答案

(a × b)_y = −32

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 30 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 40·2

R_B = 120/4 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 30 = 50 kN

答案

R_B = 30 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 18.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 6·1·2.5

R_B = 75/4 = 18.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18.75 = 17.25 kN

答案

R_B = 18.75 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.5 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 52.5 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 74.25 kN (C), BF: 37.5 kN (T), CG: 0, DH: 12.5 kN (T), BG: 10.61 kN (C), DG: 10.61 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 55.31 kN (T), BC: 55.31 kN (T), CD: 35.94 kN (T), DE: 35.94 kN (T), FG: 56.88 kN (C), GH: 56.88 kN (C), AF: 33.85 kN (C), HE: 59.9 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 2.604 kN (T), HC: 34.9 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: F_O = 312.4 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 200·120/100 = 240 N

销钉反力

O_x = 240 N, O_y = 200 N

F_O = √(240² + 200²) = 312.4 N

答案

F_O = 312.4 N

8.框架与机器

答案: C = 2.197 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

B 处的支座反力

B_y = 10·0.4/2 = 2 kN

拉杆力

T = 2·1/2.2 = 0.9091 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.9091 kN, C_y = −2 kN

C = √(0.9091² + 2²) = 2.197 kN

答案

C = 2.197 kN

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 48.33 kN, R₂ = 66.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 86.67, M_C = 153.3, M_D = 200, M_E = 226.7 kN·m, M_F = 123.3, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 226.7 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 4.95 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·9 = 216 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·9·4.5

R_B = 972/10 = 97.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 216 − 97.2 = 118.8 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 118.8/24 = 4.95 m

答案

x₀ = 4.95 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 12.27 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

腹板: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·150 + 1960·70)/6760 = 126.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·20³/12 + 4800·(150 − 126.8)² = 2.742 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·140³/12 + 1960·(70 − 126.8)² = 9.526 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.742 × 10⁶ + 9.526 × 10⁶ = 1.227 × 10⁷ mm⁴ = 12.27 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 12.27 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 222.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 3000·168)/(48000 − 3000) = 116.8 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·3.2² = 230.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·50³/12 + 3000·51.2² = 8.489 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 222.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 222.4 × 10⁶ mm⁴

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