静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, −2, 7) 在 b = (3, −2, −2) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−4, −2, 7)b = (3, −2, −2)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (30, 10, 60) N 作用在点 A(4, −4, −1)。坐标单位为米。求该力对点 O(−3, 1, −1) 的力矩的大小 |M|。

F = (30, 10, 60) NA(4, −4, −1) mO(−3, 1, −1) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP₁ = 60 kN 位于 2 mP₂ = 50 kN 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 55 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 20 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 35 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.8 m。B 处悬挂 3 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 3 kNAD = 1.5 mAB = 2.5 mAC = 0.8 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2.5 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 4 kNW_b = 3 kNAB = 2.5 mAC = 2.5 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 45 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −5.336

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·3 + (−2)·(−2) + 7·(−2) = −22

b 的长度

|b| = √(3² + (−2)² + (−2)²) = 4.123

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −22/4.123 = −5.336

答案

comp_b a = −5.336

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 561.1 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, −4, −1) − (−3, 1, −1) = (7, −5, 0) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−5)·60 − 0·10 = −300 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·30 − 7·60 = −420 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 7·10 − (−5)·30 = 220 N·m

模

|M| = √((−300)² + (−420)² + 220²) = 561.1 N·m

答案

|M| = 561.1 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 56 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 50·3

R_B = 270/5 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 54 = 56 kN

答案

R_A = 56 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 20.08 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·4 + 3·1·2.5

R_B = 227.5/6 = 37.92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 37.92 = 20.08 kN

答案

R_A = 20.08 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −17.57 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·5 → C_y = 16.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16.67 = 3.333 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16.67/0.9487 = −17.57 kN

答案

F_BC = −17.57 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 77.78 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 42.43 kN (T), HC: 28.28 kN (C)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: A = 9.586 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 3·2.5/(0.4706·1.5) = 10.63 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 9.375 kN （指向墙）

A_y = 3 − F_CD·sin α = −2 kN

模

A = √(9.375² + −2²) = 9.586 kN

答案

A = 9.586 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 5.701 kN

缆绳拉力

T = (4 + 3/2)/0.7071 = 7.778 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 5.5 kN

A_y = 4 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

模

A = √(5.5² + 1.5²) = 5.701 kN

答案

A = 5.701 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 96 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 48·4 − 12·4·2 = 96 kN·m

答案

M_x = 96 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 129.4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 6·8·4

R_B = 417/8 = 52.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 52.13 = 40.88 kN

V = 0 在哪里？

V(5⁻) = R_A − w·5 = 10.88 kN

V(5⁺) = 10.88 − 45 = −34.13 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 40.88·5 − 6·5²/2 = 129.4 kN·m

答案

M_max = 129.4 kN·m

它出现在距 A 为 x = 5 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 8.871 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147.5 mm

腹板: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·147.5 + 1960·70)/3760 = 107.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 120·15³/12 + 1800·(147.5 − 107.1)² = 2.971 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·140³/12 + 1960·(70 − 107.1)² = 5.899 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.971 × 10⁶ + 5.899 × 10⁶ = 8.871 × 10⁶ mm⁴ = 8.871 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 8.871 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 224.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 900·120)/(30000 − 900) = 150.9 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·−0.9278² = 225 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·−30.93² = 0.9284 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 224.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 224.1 × 10⁶ mm⁴

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