静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−4, −1, 5) 与 b = (−3, −1, k) 垂直的 k 的值。

a = (−4, −1, 5)b = (−3, −1, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (30, 40, 20) N 作用在点 A(4, 2, 3)。坐标单位为米。求该力对点 O(−3, 1, −1) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (30, 40, 20) NA(4, 2, 3) mO(−3, 1, −1) m

M_y = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 30 kN 位于 2 mP₂ = 25 kN 位于 8 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 5 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 8 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 4 m 处的集中荷载 Q。求滚动支座处的反力 R_D。

AC = 5 mAD = 10 mP = 40 kN 位于 8 mQ = 35 kN 位于 4 m

R_D = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 45 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓F: 10 kN →H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 4 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 12 kNW_b = 3 kNAB = 4 mAC = 4 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 4 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 60 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mm切口: 60 × 40 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −2.6

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−4)·(−3) + (−1)·(−1) + 5·k = 0

13 + 5·k = 0

解出 k

k = −13/5 = −2.6

答案

k = −2.6

2.向量：点积和叉积

答案: M_y = −20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, 2, 3) − (−3, 1, −1) = (7, 1, 4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·20 − 4·40 = −140 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·30 − 7·20 = −20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 7·40 − 1·30 = 250 N·m

所求分量

M_y = −20 N·m

答案

M_y = −20 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 26 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 25·8

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 26 = 29 kN

答案

R_B = 26 kN

4.梁的支座反力

答案: R_D = 24 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 40·3

R_D = 24 kN

V_C = 40 − 24 = 16 kN

答案

R_D = 24 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −47.73 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

答案

F_BC = −47.73 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 58.33 kN (C), HE: 91.67 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 20.83 kN (T), HC: 4.167 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 4.5 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·1.5/4 = 5.625 kN

腿 BC：对 C 取矩

5.625·2 = T·2.5

T = 4.5 kN

答案

T = 4.5 kN

8.框架与机器

答案: A = 13.58 kN

缆绳拉力

T = (12 + 3/2)/0.7071 = 19.09 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 13.5 kN

A_y = 12 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

模

A = √(13.5² + 1.5²) = 13.58 kN

答案

A = 13.58 kN

9.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 54.17 kN, R₂ = 15.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 108.3, M_C = 126.7 kN·m, M_D = 95, M_E = 63.33, M_F = 31.67, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 126.7 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 23.67 kN, R₂ = 95.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −40.67, M_D = −57.33, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −160 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 20.65 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

腹板: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·230 + 1760·110)/3760 = 173.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(230 − 173.8)² = 6.377 × 10⁶ mm⁴

腹板: 8·220³/12 + 1760·(110 − 173.8)² = 1.427 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.377 × 10⁶ + 1.427 × 10⁷ = 2.065 × 10⁷ mm⁴ = 20.65 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 20.65 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 260.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 2400·210)/(36000 − 2400) = 145.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·4.286² = 270.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·40³/12 + 2400·64.29² = 10.24 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 260.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 260.4 × 10⁶ mm⁴

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