静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, −5, −7) 与 b = (−4, 7, −5) 的点积 a·b。

a = (−2, −5, −7)b = (−4, 7, −5)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, 2, 0)、b = (−5, 0, −3) 和 c = (−2, 4, −5)。

a = (3, 2, 0)b = (−5, 0, −3)c = (−2, 4, −5)

V =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 2.5 mAC = 4 mP₁ = 70 kN 位于 1 mP₂ = 30 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 4.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 0.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 6 mP = 10 kN 位于 4.5 m, θ = 30°Q = 25 kN 位于 0.5 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 40 kN ↓F: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 25 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 120 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 80 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 120 NOA = 150 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 100 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 15 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 15 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 8 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 10 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 8

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

对应分量相乘再相加

a·b = (−2)·(−4) + (−5)·7 + (−7)·(−5) = 8 + (−35) + 35 = 8

答案

a·b = 8

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 2

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·(−5) − (−3)·4 = 12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−2) − (−5)·(−5) = −19

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·4 − 0·(−2) = −20

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·12 + 2·(−19) + 0·(−20) = −2

V = |−2| = 2

答案

V = 2

3.梁的支座反力

答案: R_B = 76 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·2.5 = 70·1 + 30·4

R_B = 190/2.5 = 76 kN

竖向平衡

R_A = 70 + 30 − 76 = 24 kN

答案

R_B = 76 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 70.28 °

P 的分量

P_v = 10·sin 30° = 5 kN

P_h = 10·cos 30° = 8.66 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·4.5 + 25·0.5 → R_B = 5.833 kN

A_y = 5 + 25 − 5.833 = 24.17 kN

A_x = P_h = 8.66 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(24.17/8.66) = 70.28°

答案

α = 70.28°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 57.5 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 62.5 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 81.32 kN (C), HE: 88.39 kN (C), BF: 27.5 kN (T), CG: 0, DH: 37.5 kN (T), BG: 3.536 kN (C), DG: 3.536 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −46.67 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 + 25·3 → C_y = 33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33 = 12 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33/0.7071 = −46.67 kN

答案

F_BC = −46.67 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_O = 255 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 120·150/80 = 225 N

销钉反力

O_x = 225 N, O_y = 120 N

F_O = √(225² + 120²) = 255 N

答案

F_O = 255 N

8.框架与机器

答案: F = 1214 N

连杆角

sin θ = 15/100 = 0.15, θ = 8.627°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4046 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1214 N

答案

F = 1214 N

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 43.33 kN, R₂ = 46.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 76.67, M_C = 133.3, M_D = 170, M_E = 186.7 kN·m, M_F = 93.33, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 186.7 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 46.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 8·8·4

R_B = 296/8 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 37 = 37 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·1.5 − 8·1.5·0.75 = 46.5 kN·m

答案

M_x = 46.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 51.94 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·292.5 + 2240·140)/7740 = 248.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·25³/12 + 5500·(292.5 − 248.4)² = 1.1 × 10⁷ mm⁴

腹板: 8·280³/12 + 2240·(140 − 248.4)² = 4.094 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.1 × 10⁷ + 4.094 × 10⁷ = 5.194 × 10⁷ mm⁴ = 51.94 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 51.94 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.623 kN·m

形心

ȳ = (1200·125 + 1920·60)/3120 = 85 mm

上边缘: c = 130 − 85 = 45 mm

惯性矩

I = 120·10³/12 + 1200·40² + 16·120³/12 + 1920·25² = 5.434 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 30·5.434 × 10⁶/45 = 3.623 kN·m

下边缘: M = 150·5.434 × 10⁶/85 = 9.589 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.623 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 3.623 kN·m

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