静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (6, 6, −2) 在 b = (2, −5, 1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (6, 6, −2)b = (2, −5, 1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−60, 60, −20) N 作用在点 A(2, −2, 2)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (−60, 60, −20) NA(2, −2, 2) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 3.5 mM = 60 kN·m (顺时针) 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 1 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 4 mP = 10 kN 位于 1 m, θ = 30°Q = 35 kN 位于 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN →G: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.3 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 12 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.3 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 12 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP = 35 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 300 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 190 mm。底板和两肢厚度均为 18 mm。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b = 300 mmh = 190 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mm切口: 30 × 40 mm孔心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −3.651

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 6·2 + 6·(−5) + (−2)·1 = −20

b 的长度

|b| = √(2² + (−5)² + 1²) = 5.477

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −20/5.477 = −3.651

答案

comp_b a = −3.651

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: |M| = 113.1 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (2, −2, 2) − (0, 0, 0) = (2, −2, 2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·(−20) − 2·60 = −80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·(−60) − 2·(−20) = −80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·60 − (−2)·(−60) = 0 N·m

模

|M| = √((−80)² + (−80)² + 0²) = 113.1 N·m

答案

|M| = 113.1 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = −8.125 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 − 55·3.5 − 60 = 0

R_B = 252.5/4 = 63.13 kN

竖向平衡

R_A = 55 − 63.13 = −8.125 kN

答案

R_A = −8.125 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 22.95 kN

P 的分量

P_v = 10·sin 30° = 5 kN

P_h = 10·cos 30° = 8.66 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·1 + 35·2 → R_B = 18.75 kN

A_y = 5 + 35 − 18.75 = 21.25 kN

A_x = P_h = 8.66 kN

A 处的合力

R_A = √(8.66² + 21.25²) = 22.95 kN

答案

R_A = 22.95 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 17.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 17.5 kN (C), GH: 27.5 kN (C), AF: 24.75 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 17.5 kN (T), CG: 0, DH: 7.5 kN (T), BG: 24.75 kN (C), DG: 10.61 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 49.69 kN (T), BC: 49.69 kN (T), CD: 41.56 kN (T), DE: 41.56 kN (T), FG: 64.38 kN (C), GH: 64.38 kN (C), AF: 24.48 kN (C), HE: 69.27 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 24.48 kN (T), HC: 38.02 kN (T)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: T = 0.6667 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 12·0.3/2.4 = 1.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.5·1.2 = T·2.7

T = 0.6667 kN

答案

T = 0.6667 kN

8.框架与机器

答案: A = 37.5 kN

缆绳拉力

T = (12 + 1/2)/0.3162 = 39.53 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 37.5 kN

A_y = 12 + 1 − T·sin β = 0.5 kN

模

A = √(37.5² + 0.5²) = 37.5 kN

答案

A = 37.5 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 24 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 15·2 − 3·2·1 = 24 kN·m

答案

M_x = 24 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 32.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 4·4·2

R_B = 67/4 = 16.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 16.75 = 34.25 kN

V = 0 在哪里？

V(1⁻) = R_A − w·1 = 30.25 kN

V(1⁺) = 30.25 − 35 = −4.75 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 34.25·1 − 4·1²/2 = 32.25 kN·m

答案

M_max = 32.25 kN·m

它出现在距 A 为 x = 1 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.44 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 300·18 = 5400 mm², y₁ = 9 mm

两肢: A₂ = 2·18·172 = 6192 mm², y₂ = 18 + 172/2 = 104 mm

形心

ȳ = (5400·9 + 6192·104)/11592 = 59.75 mm

平行移轴定理

基质: 300·18³/12 + 5400·(9 − 59.75)² = 1.405 × 10⁷ mm⁴

两肢: 2·18·172³/12 + 6192·(104 − 59.75)² = 2.739 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.405 × 10⁷ + 2.739 × 10⁷

I_x = 4.144 × 10⁷ mm⁴ = 41.44 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.44 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1200·72)/(48000 − 1200) = 121.2 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·−1.231² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·40³/12 + 1200·−49.23² = 3.068 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

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