静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, 7, −4) 与 b = (−1, −4, 0) 的点积 a·b。

a = (−3, 7, −4)b = (−1, −4, 0)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−1, −3, 2)、B(−2, 1, −3)、C(−4, 0, 4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−1, −3, 2)B(−2, 1, −3)C(−4, 0, 4)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 50 kN 位于 4 mP₂ = 20 kN 位于 6 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 6 kN/mP = 65 kN 位于 4.5 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 35 kN ↓D: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m，顶部销钉 C 高 2 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.64 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 20 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 2 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.64 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 4 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 4 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP₁ = 25 kN 位于 1.5 mP₂ = 30 kN 位于 3 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m55 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 190 mm、厚 22 mm，总高度 420 mm，腹板厚 12 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 190 mmH = 420 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −25

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−3)·(−1) + 7·(−4) + (−4)·0 = 3 + (−28) + 0 = −25

答案

a·b = −25

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 14.99 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−1, 4, −5)

AC = C − A = (−3, 3, 2)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·2 − (−5)·3 = 23

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·(−3) − (−1)·2 = 17

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·3 − 4·(−3) = 9

|AB × AC| = √(23² + 17² + 9²) = 29.98

三角形的面积

A = ½·29.98 = 14.99 m²

答案

A = 14.99 m²

3.梁的支座反力

答案: R_B = 40 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 20·6

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40 = 30 kN

答案

R_B = 40 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 364.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·6 = 18 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 18·4 + 65·4.5 = 364.5 kN·m

答案

M_A = 364.5 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 75 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 106.1 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 63.64 kN (T), HC: 21.21 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −57.3 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 20·2 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 3.75 = 51.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −51.25/0.8944 = −57.3 kN

答案

F_AB = −57.3 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 8 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 20·0.64/3.2 = 4 kN

腿 BC：对 C 取矩

4·1.6 = T·0.8

T = 8 kN

答案

T = 8 kN

8.框架与机器

答案: C = 1.236 kN

B 处的支座反力

B_y = 4·1.2/4.8 = 1 kN

拉杆力

T = 1·2.4/3.3 = 0.7273 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.7273 kN, C_y = −1 kN

C = √(0.7273² + 1²) = 1.236 kN

答案

C = 1.236 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 63.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1.5 + 30·3

R_B = 127.5/6 = 21.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 21.25 = 33.75 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1.5 = 33.75·1.5 = 50.63 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·3 = 21.25·3 = 63.75 kN·m

最大值

M_max = 63.75 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 63.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 31.67 kN, R₂ = 93.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −106.7, M_D = −153.3, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −220 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 384.6 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 420 − 2·22 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·420³ − 178·376³)/12

I_x = 3.846 × 10⁸ mm⁴ = 384.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 384.6 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 335.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 900·105)/(45000 − 900) = 150.9 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·−0.9184² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·−45.92² = 1.965 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 335.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 335.6 × 10⁶ mm⁴

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