静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求使向量 a = (3, 4, −3) 与 b = (k, 5, −6) 垂直的 k 的值。

a = (3, 4, −3)b = (k, 5, −6)
k =
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

单位向量 n̂ 与 a = (4, 4, 5) 和 b = (4, −4, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂y。

a = (4, 4, 5)b = (4, −4, −2)n̂z > 0
n̂y =
3.梁的支座反力中等
P1​ = 55 kNP2​ = 80 kNABCRB​ = ?5 m1 m4 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP1 = 55 kN 位于 5 mP2 = 80 kN 位于 10 m
RB = kN
4.梁的支座反力困难
w0​ = 6 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?4.5 m1.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 6 mw0 = 6 kN/mP = 25 kN 位于 4.5 m
MA = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH30 kN25 kN4 × 4 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 30 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH15 kN15 kN10 kN25 kN25 kN4 × 3 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN →G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.框架与机器中等
5 kN8 m2.5 m1.2 mABCK

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 1.2 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.72 m，作用 5 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 FBC。

P = 5 kNL = 8 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.72 m
FBC = kN
8.框架与机器困难
15 kN10 kN6 m2 m0.9 mABCK

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 高 2 m，位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.54 m 处承受 15 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 10 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 Ax。

P = 15 kNQ = 10 kNL = 6 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.54 m
Ax = kN
9.剪力和弯矩中等
15 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 2 m15 kN/m, 4–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.剪力和弯矩困难
45 kN60 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 0 m60 kN @ 6 m30 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.形心和惯性矩中等
150 mm240 mm84 mmØ40xIx​ = ?

一块 150 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
1002528016xM = 10 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 280 mmM = 10 kN·m
σ底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −12.67

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 3·k + 4·5 + (−3)·(−6) = 0
38 + 3·k = 0

解出 k

k = −38/3 = −12.67

答案

k = −12.67
2.向量：点积和叉积

答案: n̂y = −0.6338

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)x = aybz − azby = 4·(−2) − 5·(−4) = 12
(a × b)y = azbx − axbz = 5·4 − 4·(−2) = 28
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−4) − 4·4 = −32

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(12² + 28² + (−32)²) = 44.18
n̂ = −(12, 28, −32)/44.18 = (−0.2716, −0.6338, 0.7243)
n̂y = −0.6338

答案

n̂y = −0.6338
3.梁的支座反力

答案: RB = 179.2 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 80·10
RB = 1075/6 = 179.2 kN

竖向平衡

RA = 55 + 80 − 179.2 = −44.17 kN

答案

RB = 179.2 kN

RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: MA = 184.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·6 = 18 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 18·4 + 25·4.5 = 184.5 kN·m

答案

MA = 184.5 kN·m
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 26.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 1.25 kN (C), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 1.768 kN (C)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 33.33 kN (C), HE: 66.67 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 33.33 kN (T), HC: 16.67 kN (T)

答案

零杆: BF
7.框架与机器

答案: FBC = 1.304 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(6.8² + 2.5²) = 7.245 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

FBC·(2.5/7.245)·8 = 5·0.72
FBC = 1.304 kN （压缩）

答案

FBC = 1.304 kN
8.框架与机器

答案: Ax = 1.942 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

BC 的方向

BC = 5.478 m, cos = 0.931, sin = 0.3651

整个框架：对 A 取矩

FBC·0.3651·6 = 15·0.54 + 10·2
FBC = 12.83 kN

水平平衡

Ax + 10 − 12.83·0.931 = 0
Ax = 1.942 kN → |Ax| = 1.942 kN

答案

Ax = 1.942 kN

Ax 指向右。

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 75 kN, R2 = 60 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 150, MC = 210, MD = 240 kN·m, ME = 210, MF = 120, MG = 0

答案

标记点 D: MD = 240 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 30 kN, R2 = 105 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = −45, MC = −60, MD = −75, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

答案

标记点 E: ME = −120 kN·m
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 171 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·120 − 1257·84)/(36000 − 1257) = 121.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·−1.302² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37.3² = 1.874 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 171 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ底部 = 29.17 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292.5 mm
腹板: Aw = 16·280 = 4480 mm², yw = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·292.5 + 4480·140)/6980 = 194.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·25³/12 + 2500·(292.5 − 194.6)² = 2.408 × 10⁷ mm⁴
腹板: 16·280³/12 + 4480·(140 − 194.6)² = 4.263 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.408 × 10⁷ + 4.263 × 10⁷ = 6.672 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 194.6 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·194.6/6.672 × 10⁷ = 29.17 MPa

答案

σ底部 = 29.17 MPa

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