静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−25, −20, 0) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(4, −4, 2) 运动到点 B(1, 5, 4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−25, −20, 0) NA(4, −4, 2) mB(1, 5, 4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(1, 3, 0)、B(−3, 0, 0)、C(−3, −2, 2) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(1, 3, 0)B(−3, 0, 0)C(−3, −2, 2)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 30 kN 位于 2 mP₂ = 50 kN 位于 5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 40 kN 位于 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 1 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓F: 40 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.36 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 20 kNL = 3 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.36 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 高 3 m，位于 A 右侧 2.25 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.9 m 处承受 5 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 4 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 5 kNQ = 4 kNL = 5 mH = 3 mA 到 B 的水平距离 = 2.25 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 4.5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 50 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM₀ = 50 kN·m 顺时针，作用于 4.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 9 mw = 8 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

x_c = m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −105 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (1, 5, 4) − (4, −4, 2) = (−3, 9, 2) m

功

W = F·d = (−25)·(−3) + (−20)·9 + 0·2 = −105 J

答案

W = −105 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 6.403 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−4, −3, 0)

AC = C − A = (−4, −5, 2)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−3)·2 − 0·(−5) = −6

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−4) − (−4)·2 = 8

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−4)·(−5) − (−3)·(−4) = 8

|AB × AC| = √((−6)² + 8² + 8²) = 12.81

三角形的面积

A = ½·12.81 = 6.403 m²

答案

A = 6.403 m²

3.梁的支座反力

答案: R_B = 31 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 50·5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 31 = 49 kN

答案

R_B = 31 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 21.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 12·1·0.5

R_B = 246/8 = 30.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 30.75 = 21.25 kN

答案

R_A = 21.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −8.944 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16 = 4 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4/0.4472 = −8.944 kN

答案

F_AB = −8.944 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 73.13 kN (T), BC: 73.13 kN (T), CD: 34.37 kN (T), DE: 34.37 kN (T), FG: 53.75 kN (C), GH: 53.75 kN (C), AF: 55.21 kN (C), HE: 57.29 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 32.29 kN (C), HC: 32.29 kN (T)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.134 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2.1² + 2.5²) = 3.265 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/3.265)·3 = 20·0.36

F_BC = 3.134 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.134 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.975 kN

BC 的方向

BC = 4.07 m, cos = 0.6757, sin = 0.7372

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.7372·5 = 5·0.9 + 4·3

F_BC = 4.477 kN

水平平衡

A_x + 4 − 4.477·0.6757 = 0

A_x = −0.975 kN → |A_x| = 0.975 kN

答案

A_x = 0.975 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −37.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 50/6 = 8.333 kN (向上)

R_A = −R_B = −8.333 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −8.333·4.5 = −37.5 kN·m

答案

M_x = −37.5 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x_c = 7.875 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·9·4.5

R_B = 324/8 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 40.5 = 31.5 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·31.5/8 = 7.875 m

答案

x_c = 7.875 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 91.62 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312.5 mm

腹板: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·312.5 + 3600·150)/11100 = 259.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·25³/12 + 7500·(312.5 − 259.8)² = 2.122 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·300³/12 + 3600·(150 − 259.8)² = 7.04 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.122 × 10⁷ + 7.04 × 10⁷ = 9.162 × 10⁷ mm⁴ = 91.62 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 91.62 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 114.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 900·144)/(24000 − 900) = 119.1 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·0.9351² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·24.94² = 0.6271 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 114.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 114.6 × 10⁶ mm⁴

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