静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, 2, −4) 与 b = (−2, −4, 1) 的点积 a·b。

a = (2, 2, −4)b = (−2, −4, 1)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−10, 40, 0) N 作用在点 A(−4, −3, −4)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (−10, 40, 0) NA(−4, −3, −4) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 6 kN/m。距 A 为 1 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mw₀ = 6 kN/mP = 20 kN 位于 1 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 15 kN 位于 5 mw = 10 kN/m，从 4 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 10 kN ↓D: 30 kN ↓G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 在地面之上 4 m，且位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 1.35 m，作用 12 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 12 kNL = 6 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 1.35 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.9 m 处承受 12 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 3 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 12 kNQ = 3 kNL = 3 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 40 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mM₀ = 40 kN·m 顺时针，作用于 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mw = 16 kN/m，从 0 到 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 180 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 30 × 50 mm孔心: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −16

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 2·(−2) + 2·(−4) + (−4)·1 = (−4) + (−8) + (−4) = −16

答案

a·b = −16

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = 160 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−4, −3, −4) − (0, 0, 0) = (−4, −3, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·0 − (−4)·40 = 160 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·(−10) − (−4)·0 = 40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·40 − (−3)·(−10) = −190 N·m

所求分量

M_x = 160 N·m

答案

M_x = 160 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 18.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·5.333 + 20·1

R_B = 18.5 kN

R_A = 44 − 18.5 = 25.5 kN

答案

R_B = 18.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 5.833 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 10·2·5

R_B = 175/6 = 29.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 29.17 = 5.833 kN

答案

R_A = 5.833 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 45.96 kN (T), HC: 24.75 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −28.84 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 − 20·2 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 4 = 16 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16/0.5547 = −28.84 kN

答案

F_AB = −28.84 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 3.915 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.2² + 4²) = 5.8 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(4/5.8)·6 = 12·1.35

F_BC = 3.915 kN （压缩）

答案

F_BC = 3.915 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.72 kN

BC 的方向

BC = 4.176 m, cos = 0.2873, sin = 0.9578

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.9578·3 = 12·0.9 + 3·4

F_BC = 7.935 kN

水平平衡

A_x + 3 − 7.935·0.2873 = 0

A_x = −0.72 kN → |A_x| = 0.72 kN

答案

A_x = 0.72 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −20 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (向上)

R_A = −R_B = −8 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −8·2.5 = −20 kN·m

答案

M_x = −20 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 141.1 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 16·6·3

R_B = 288/10 = 28.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 28.8 = 67.2 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 67.2/16 = 4.2 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 67.2·4.2 − 16·4.2²/2 = 141.1 kN·m

答案

M_max = 141.1 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.98 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 706.9·60)/(22500 − 706.9) = 75.49 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·−0.4865² = 42.19 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−15.49² = 0.2093 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 41.98 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.98 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 223.3 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (30000·150 − 1500·180)/(30000 − 1500) = 148.4 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·1.579² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·50³/12 + 1500·31.58² = 1.808 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 223.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 223.3 × 10⁶ mm⁴

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