静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (5, 7, −3) 与 b = (3, −7, −1) 的点积 a·b。

a = (5, 7, −3)b = (3, −7, −1)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−4, −4, −5) 和 b = (2, 5, 4) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−4, −4, −5)b = (2, 5, 4)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP₁ = 35 kN 位于 3 mP₂ = 30 kN 位于 3.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 12 kN/m；另在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 12 kN/mP = 15 kN 位于 5 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 20 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 10 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 20° 角。B 处施加 300 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 300 Nθ = 20°

Q = N

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 200 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 25 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 3000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 3000 NAB = BC = 200 mmh = 25 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 4 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 8.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 8.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 150 mm，内径 d = 142 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 150 mmd = 142 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 140 × 24 mm，腹板高 210 mm、厚 14 mm，下翼缘为 240 × 24 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 140 × 24 mm腹板: 14 × 210 mm下翼缘: 240 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = −31

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 5·3 + 7·(−7) + (−3)·(−1) = 15 + (−49) + 3 = −31

答案

a·b = −31

为负：两向量的夹角大于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.3714

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·4 − (−5)·5 = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·2 − (−4)·4 = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·5 − (−4)·2 = −12

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(9² + 6² + (−12)²) = 16.16

n̂ = −(9, 6, −12)/16.16 = (−0.5571, −0.3714, 0.7428)

n̂_y = −0.3714

答案

n̂_y = −0.3714

3.梁的支座反力

答案: R_A = 23 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 30·3.5

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42 = 23 kN

答案

R_A = 23 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 219 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·12·6 = 36 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 36·4 + 15·5 = 219 kN·m

答案

M_A = 219 kN·m

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −12.01 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·5 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 12.5 = 7.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/6.403 = 0.6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7.5/0.6247 = −12.01 kN

答案

F_AB = −12.01 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 − 10·4 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0.8 = −18.75 kN

答案

F_AB = −18.75 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 412.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 20° = 300

F_link = 438.6 N

夹紧力

Q = F_link·cos 20° = 300/(2·tan 20°) = 412.1 N

答案

Q = 412.1 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.374 会无限增大。

8.框架与机器

答案: F = 755.9 N

连杆角

sin θ = 25/200 = 0.125, θ = 7.181°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 3024 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 755.9 N

答案

F = 755.9 N

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 39 kN, R₂ = 54 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 62, M_D = 81, M_E = 92 kN·m, M_F = 50, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 92 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 6.146 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8.5 = 17 kN，作用于 x̄ = 4.25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·8.5·4.25

R_B = 72.25/6 = 12.04 kN

ΣF_y = 0: R_A = 17 − 12.04 = 4.958 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 4.958/2 = 2.479 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 4.958²/(2·2) = 6.146 kN·m

答案

M_max = 6.146 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 51.64 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 1835 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.892 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(4.892 × 10⁶/1835) = 51.64 mm

答案

r = 51.64 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 129.5 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 3360 mm², y = 246 mm

腹板: A = 2940 mm², y = 129 mm

下翼缘: A = 5760 mm², y = 12 mm

形心

ȳ = (3360·246 + 2940·129 + 5760·12)/12060 = 105.7 mm

平行移轴定理

上翼缘: 140·24³/12 + 3360·140.3² = 6.628 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·210³/12 + 2940·23.28² = 1.24 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 240·24³/12 + 5760·93.72² = 5.087 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.628 × 10⁷ + 1.24 × 10⁷ + 5.087 × 10⁷

I_x = 1.295 × 10⁸ mm⁴ = 129.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 129.5 × 10⁶ mm⁴

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