静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, −3, −4) 在 b = (−2, 2, 1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−3, −3, −4)b = (−2, 2, 1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−1, 0, 1)、b = (4, 0, −2) 和 c = (0, −2, 3)。

a = (−1, 0, 1)b = (4, 0, −2)c = (0, −2, 3)

V =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mP = 50 kN 位于 4 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 55 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 15 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.2 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 1.2 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 高 2.5 m，位于 A 右侧 3 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 1.5 m 处承受 5 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 8 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 5 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 3 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −1.333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·(−2) + (−3)·2 + (−4)·1 = −4

b 的长度

|b| = √((−2)² + 2² + 1²) = 3

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −4/3 = −1.333

答案

comp_b a = −1.333

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·3 − (−2)·(−2) = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·0 − 4·3 = −12

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·(−2) − 0·0 = −8

与 a 的点积

a·(b × c) = (−1)·(−4) + 0·(−12) + 1·(−8) = −4

V = |−4| = 4

答案

V = 4

3.梁的支座反力

答案: M_A = 325 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 50·4 + 50·2.5 = 325 kN·m

答案

M_A = 325 kN·m

4.梁的支座反力

答案: R_A = 35.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 6·3·1.5

R_B = 302/8 = 37.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 37.75 = 35.25 kN

答案

R_A = 35.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −11.86 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·6 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11.25 = 3.75 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/6.325 = 0.3162

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3.75/0.3162 = −11.86 kN

答案

F_AB = −11.86 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 48.75 kN (T), BC: 48.75 kN (T), CD: 56.25 kN (T), DE: 56.25 kN (T), FG: 92.5 kN (C), GH: 92.5 kN (C), AF: 90.16 kN (C), HE: 79.55 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 40.66 kN (T), HC: 30.05 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: T = 2.727 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·1.2/4.8 = 3.75 kN

腿 BC：对 C 取矩

3.75·2.4 = T·3.3

T = 2.727 kN

答案

T = 2.727 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 3.6 kN

BC 的方向

BC = 3.202 m, cos = 0.6247, sin = 0.7809

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.7809·5 = 5·1.5 + 8·2.5

F_BC = 7.043 kN

水平平衡

A_x + 8 − 7.043·0.6247 = 0

A_x = −3.6 kN → |A_x| = 3.6 kN

答案

A_x = 3.6 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 89.5 kN, R₂ = 89.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 262, M_D = 321 kN·m, M_E = 262, M_F = 155, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 321 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 17.28 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·4·2

R_B = 48/5 = 9.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 9.6 = 14.4 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 14.4/6 = 2.4 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 14.4·2.4 − 6·2.4²/2 = 17.28 kN·m

答案

M_max = 17.28 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 13.84 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

腹板: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·170 + 1600·80)/7600 = 151.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·20³/12 + 6000·(170 − 151.1)² = 2.354 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·160³/12 + 1600·(80 − 151.1)² = 1.149 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.354 × 10⁶ + 1.149 × 10⁷ = 1.384 × 10⁷ mm⁴ = 13.84 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 13.84 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 13.37 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

腹板: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·150 + 1680·70)/6880 = 130.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·20³/12 + 5200·(150 − 130.5)² = 2.158 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·140³/12 + 1680·(70 − 130.5)² = 8.886 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.158 × 10⁶ + 8.886 × 10⁶ = 1.104 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 160 − 130.5 = 29.53 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·29.53/1.104 × 10⁷ = 13.37 MPa

答案

σ_顶部 = 13.37 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics