静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (1, −1, 7) 与 b = (5, 4, 4) 的点积 a·b。

a = (1, −1, 7)b = (5, 4, 4)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−4, 4, 3)、B(1, 4, 4)、C(1, 3, −4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−4, 4, 3)B(1, 4, 4)C(1, 3, −4)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_A，以向上为正。

L = 5 mP = 10 kN 位于 3.5 mM = 40 kN·m (逆时针) 位于 3 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 25 kN 位于 7 mw = 2 kN/m，从 6 到 7 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 5 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 4 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 1.8 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.72 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 6 kNL = 4 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.72 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 8 kNW_b = 3 kNAB = 3 mAC = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 8 kN/m，从 0 到 10 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 45 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mm切口: 30 × 50 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 29

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 1·5 + (−1)·4 + 7·4 = 5 + (−4) + 28 = 29

答案

a·b = 29

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 20.16 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (5, 0, 1)

AC = C − A = (5, −1, −7)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·(−7) − 1·(−1) = 1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·5 − 5·(−7) = 40

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 5·(−1) − 0·5 = −5

|AB × AC| = √(1² + 40² + (−5)²) = 40.32

三角形的面积

A = ½·40.32 = 20.16 m²

答案

A = 20.16 m²

3.梁的支座反力

答案: R_A = 11 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·5 − 10·3.5 + 40 = 0

R_B = −5/5 = −1 kN

竖向平衡

R_A = 10 − (−1) = 11 kN

答案

R_A = 11 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: R_B = 23.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 2·1·6.5

R_B = 188/8 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 23.5 = 3.5 kN

答案

R_B = 23.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −25.16 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7.5 = 22.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22.5/0.8944 = −25.16 kN

答案

F_AB = −25.16 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −32.21 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 + 5·4 → C_y = 31.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 31.25 = 3.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −31.25/0.9701 = −32.21 kN

答案

F_BC = −32.21 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.606 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(2.2² + 2²) = 2.973 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/2.973)·4 = 6·0.72

F_BC = 1.606 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.606 kN

8.框架与机器

答案: T = 21.24 kN

缆绳角

BC = √(3² + 1.5²) = 3.354 m, sin β = 0.4472

对 A 取矩

T·0.4472·3 = 8·3 + 3·1.5

T = 21.24 kN

答案

T = 21.24 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 40·2.5 − 8·2.5·1.25 = 75 kN·m

答案

M_x = 75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 60.94 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 10·4·2

R_B = 147.5/4 = 36.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 36.88 = 48.13 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 48.13·1.5 − 10·1.5·0.75 = 60.94 kN·m

答案

M_x = 60.94 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98.7 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·1.297² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41.3² = 2.269 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 77.13 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (24000·100 − 1500·60)/(24000 − 1500) = 102.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·−2.667² = 80.17 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·50³/12 + 1500·−42.67² = 3.043 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 77.13 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 77.13 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics