静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (10, 10, 25) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−5, −1, −2) 运动到点 B(3, 3, 3)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (10, 10, 25) NA(−5, −1, −2) mB(3, 3, 3) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (5, 2, 4)、b = (−1, 0, 2) 和 c = (−3, −3, −5)。

a = (5, 2, 4)b = (−1, 0, 2)c = (−3, −3, −5)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 10 kN 位于 3.5 mP₂ = 45 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 5 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 80 kN 位于 2 mw = 3 kN/m，从 5 到 10 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 6 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.6 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 2.25 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 20 kNAB = 6 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.6 mA 到 K 的水平距离 = 2.25 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 1.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 2 kNW_b = 1.5 kNAB = 6 mAC = 1 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mP₁ = 55 kN 位于 2.5 mP₂ = 55 kN 位于 4.5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 12 m20 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 22 mm，总高度 500 mm，腹板厚 10 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 140 mmH = 500 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 245 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (3, 3, 3) − (−5, −1, −2) = (8, 4, 5) m

功

W = F·d = 10·8 + 10·4 + 25·5 = 245 J

答案

W = 245 J

2.向量：点积和叉积

答案: V = 20

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·(−5) − 2·(−3) = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−3) − (−1)·(−5) = −11

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−3) − 0·(−3) = 3

与 a 的点积

a·(b × c) = 5·6 + 2·(−11) + 4·3 = 20

V = |20| = 20

答案

V = 20

3.梁的支座反力

答案: R_B = 43 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3.5 + 45·4

R_B = 215/5 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 43 = 12 kN

答案

R_B = 43 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 60.94 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 80·2 + 15·7.5

R_B = 272.5/8 = 34.06 kN

R_A = 95 − 34.06 = 60.94 kN

答案

R_A = 60.94 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 14.06 kN (T), BC: 14.06 kN (T), CD: 27.19 kN (T), DE: 27.19 kN (T), FG: 28.12 kN (C), GH: 28.12 kN (C), AF: 23.44 kN (C), HE: 45.31 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 23.44 kN (T), HC: 1.562 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 17.5 kN (T), BC: 17.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 10.61 kN (T), HC: 10.61 kN (T)

答案

零杆: DH

7.框架与机器

答案: T = 11.84 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 20·2.25/6 = 7.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

7.5·3 = T·1.9

T = 11.84 kN

答案

T = 11.84 kN

8.框架与机器

答案: A = 16.52 kN

缆绳拉力

T = (2 + 1.5/2)/0.1644 = 16.73 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 16.5 kN

A_y = 2 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

模

A = √(16.5² + 0.75²) = 16.52 kN

答案

A = 16.52 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 114.6 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2.5 + 55·4.5

R_B = 385/6 = 64.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 64.17 = 45.83 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2.5 = 45.83·2.5 = 114.6 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 64.17·1.5 = 96.25 kN·m

最大值

M_max = 114.6 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 114.6 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 8.5 kN, R₂ = 78.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 9, M_C = 2, M_D = −61, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −140 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 1725 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 500 − 2·22 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·500³ − 130·456³)/12

I_x = 4.311 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4.311 × 10⁸/250

S_x = 1.725 × 10⁶ mm³ = 1725 × 10³ mm³

答案

S_x = 1725 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 229.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1200·144)/(48000 − 1200) = 119.4 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·0.6154² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·24.62² = 0.7671 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 229.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 229.7 × 10⁶ mm⁴

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