静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (7, −6, −5) 在 b = (−6, 3, 0) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (7, −6, −5)b = (−6, 3, 0)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−1, −4, 4) 和 b = (−5, −5, 2) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−1, −4, 4)b = (−5, −5, 2)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 45 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 5.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 6 mP = 30 kN 位于 3 m, θ = 45°Q = 40 kN 位于 5.5 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.6 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 15 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.8 mA 到 K 的水平距离 = 0.6 m

T = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 100 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 12 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 100 mmh = 12 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 45 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mM₀ = 45 kN·m 顺时针，作用于 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP = 25 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 100 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 190 mm。底板和两肢厚度均为 8 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 100 mmh = 190 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 50 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mm切口: 50 × 20 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −8.944

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 7·(−6) + (−6)·3 + (−5)·0 = −60

b 的长度

|b| = √((−6)² + 3² + 0²) = 6.708

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −60/6.708 = −8.944

答案

comp_b a = −8.944

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 26.32

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·2 − 4·(−5) = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−5) − (−1)·2 = −18

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−5) − (−4)·(−5) = −15

面积

A = |a × b| = √(12² + (−18)² + (−15)²) = 26.32

答案

A = 26.32

3.梁的支座反力

答案: R_A = 31.67 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 10·5

R_B = 140/6 = 23.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 23.33 = 31.67 kN

答案

R_A = 31.67 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 33.31 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 30·sin 45° = 21.21 kN

P_h = 30·cos 45° = 21.21 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·6 = 21.21·3 + 40·5.5 → R_B = 47.27 kN

A_y = 21.21 + 40 − 47.27 = 13.94 kN

A_x = P_h = 21.21 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(13.94/21.21) = 33.31°

答案

α = 33.31°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 66.25 kN (T), BC: 66.25 kN (T), CD: 68.75 kN (T), DE: 68.75 kN (T), FG: 97.5 kN (C), GH: 97.5 kN (C), AF: 93.69 kN (C), HE: 97.23 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 44.19 kN (T), HC: 40.66 kN (T)

答案

零杆: DH

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −34.94 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 − 25·2 → C_y = −6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −6.25 = 31.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31.25/0.8944 = −34.94 kN

答案

F_AB = −34.94 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 2.045 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 15·0.6/4.8 = 1.875 kN

腿 BC：对 C 取矩

1.875·2.4 = T·2.2

T = 2.045 kN

答案

T = 2.045 kN

8.框架与机器

答案: F = 967 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 12/100 = 0.12, θ = 6.892°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4029 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 967 N

答案

F = 967 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 45/5 = 9 kN (向上)

R_A = −R_B = −9 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −9·1 = −9 kN·m

答案

M_x = −9 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 26.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 5·4·2

R_B = 115/4 = 28.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28.75 = 16.25 kN

V = 0 在哪里？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 1.25 kN

V(3⁺) = 1.25 − 25 = −23.75 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 16.25·3 − 5·3²/2 = 26.25 kN·m

答案

M_max = 26.25 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 78.53 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

两肢: A₂ = 2·8·182 = 2912 mm², y₂ = 8 + 182/2 = 99 mm

形心

ȳ = (800·4 + 2912·99)/3712 = 78.53 mm

答案

ȳ = 78.53 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 136.9 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 1000·156)/(28800 − 1000) = 118.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·1.295² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·20³/12 + 1000·37.29² = 1.424 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 136.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 136.9 × 10⁶ mm⁴

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