静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (5, 4, 5) 与 b = (2, 2, 0) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (5, 4, 5)b = (2, 2, 0)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (5, −1, 3) 和 b = (0, −5, 3)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (5, −1, 3)b = (0, −5, 3)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 60 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 4.5 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 6 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP = 15 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 3 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓F: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.5 m。B 处悬挂 2 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 2 kNAD = 1.5 mAB = 4 mAC = 0.5 m

A = kN

8.框架与机器困难

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2 m，顶部销钉 C 高 2.5 m，水平拉杆 DE 距地面 0.6 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.75 m，作用 2 kN 的竖直载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 2 kNAB = 2 mC 的高度 = 2.5 mDE 的高度 = 0.6 mA 到 K 的水平距离 = 0.75 m

C = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m50 kN @ 12 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 100 mm，内径 d = 80 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 100 mmd = 80 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 240 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 38.43 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 5·2 + 4·2 + 5·0 = 18

模

|a| = √(5² + 4² + 5²) = 8.124

|b| = √(2² + 2² + 0²) = 2.828

相角

cos θ = 18/(8.124·2.828) = 0.7833

θ = arccos(0.7833) = 38.43°

答案

θ = 38.43°

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = −25

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·3 − 3·(−5) = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·0 − 5·3 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−5) − (−1)·0 = −25

所求分量

(a × b)_z = −25

答案

(a × b)_z = −25

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_B = 27.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 10·4.5

R_B = 165/6 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 27.5 = 42.5 kN

答案

R_B = 27.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 4.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (3 + 6)/2 = 4.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 24·4.5

R_B = 138/4 = 34.5 kN

R_A = 39 − 34.5 = 4.5 kN

答案

R_A = 4.5 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 21.56 kN (T), BC: 20.63 kN (T), CD: 20.63 kN (T), DE: 19.69 kN (T), FG: 21.56 kN (C), GH: 19.69 kN (C), AF: 35.94 kN (C), HE: 32.81 kN (C), BF: 1.25 kN (C), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 1.563 kN (T), DG: 1.563 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 3.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 − 5·3 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3.75 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.75/0.7071 = −5.303 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5.303)·0.7071 = 3.75 kN

答案

F_AC = 3.75 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: A = 16.34 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 2·4/(0.3162·1.5) = 16.87 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 16 kN （指向墙）

A_y = 2 − F_CD·sin α = −3.333 kN

模

A = √(16² + −3.333²) = 16.34 kN

答案

A = 16.34 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: C = 0.8475 kN

B 处的支座反力

B_y = 2·0.75/2 = 0.75 kN

拉杆力

T = 0.75·1/1.9 = 0.3947 kN

BC 上的销钉力

C_x = 0.3947 kN, C_y = −0.75 kN

C = √(0.3947² + 0.75²) = 0.8475 kN

答案

C = 0.8475 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = 4 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 16 − 8·1.5 = 4 kN

答案

V_x = 4 kN

10.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 56.25 kN, R₂ = 58.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −47.5, M_D = −65, M_E = −82.5, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −100 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 32.02 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 2827 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.898 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(2.898 × 10⁶/2827) = 32.02 mm

答案

r = 32.02 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 114.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·120 − 800·156)/(24000 − 800) = 118.8 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·1.241² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·20³/12 + 800·37.24² = 1.136 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 114.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 114.1 × 10⁶ mm⁴

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