静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−5, −1, 5) 与 b = (2, 5, k) 垂直的 k 的值。

a = (−5, −1, 5)b = (2, 5, k)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−30, 40, −20) N 作用在点 A(1, −1, −2)。坐标单位为米。求该力对点 O(1, 3, −1) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (−30, 40, −20) NA(1, −1, −2) mO(1, 3, −1) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 10 kN 位于 3 mP₂ = 30 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 30 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 6 到 7 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 150 mm）的 250 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 150 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 250 NOA = 150 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.8 m）。梁在全长上承受 3 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 15 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 3 kN/mP = 15 kNAD = 1 mAB = 2.5 mAC = 0.8 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 10 kN/m，从 0 到 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 20 kN 位于 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 270 mm，内径 d = 254 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 270 mmd = 254 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 22 mm，总高度 440 mm，腹板厚 12 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 60 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 110 mmH = 440 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_max = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−5)·2 + (−1)·5 + 5·k = 0

−15 + 5·k = 0

解出 k

k = −(−15)/5 = 3

答案

k = 3

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = 120 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (1, −1, −2) − (1, 3, −1) = (0, −4, −1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−20) − (−1)·40 = 120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−30) − 0·(−20) = 30 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·40 − (−4)·(−30) = −120 N·m

所求分量

M_x = 120 N·m

答案

M_x = 120 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 16 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3 + 30·7

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

答案

R_A = 16 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 14.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 6.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 4·1·6.5

R_B = 116/8 = 14.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 14.5 = 19.5 kN

答案

R_B = 14.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.563 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·1 → C_y = 1.875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 1.875 = 13.13 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1.875/0.2747 = −6.825 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−6.825)·0.9615 = 6.563 kN

答案

F_AC = 6.563 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 21.56 kN (T), BC: 31.87 kN (T), CD: 31.87 kN (T), DE: 23.44 kN (T), FG: 36.56 kN (C), GH: 38.44 kN (C), AF: 60.94 kN (C), HE: 39.06 kN (C), BF: 48.75 kN (T), CG: 0, DH: 11.25 kN (T), BG: 17.19 kN (C), DG: 14.06 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: F_O = 353.6 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 250·150/150 = 250 N

销钉反力

O_x = 250 N, O_y = 250 N

F_O = √(250² + 250²) = 353.6 N

答案

F_O = 353.6 N

8.框架与机器

答案: F_CD = 75.04 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 3·2.5 = 7.5 kN 位于 1.25 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.6247·1 = 7.5·1.25 + 15·2.5 = 46.88 kN·m

F_CD = 75.04 kN

答案

F_CD = 75.04 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 30·1 − 10·1·0.5 = 25 kN·m

答案

M_x = 25 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 21.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·5 + 2·6·3

R_B = 136/6 = 22.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 22.67 = 9.333 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 9.333·5 − 2·5·2.5 = 21.67 kN·m

答案

M_x = 21.67 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 92.67 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 6585 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.655 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(5.655 × 10⁷/6585) = 92.67 mm

答案

r = 92.67 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_max = 48.23 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 440 − 2·22 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·440³ − 98·396³)/12

I_x = 2.737 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 220 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·220/2.737 × 10⁸ = 48.23 MPa

答案

σ_max = 48.23 MPa

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