静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, −5, −4) 与 b = (2, 2, 0) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, −5, −4)b = (2, 2, 0)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−5, 5, 4) 和 b = (2, 3, 1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−5, 5, 4)b = (2, 3, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 35 kN 位于 3 mP₂ = 20 kN 位于 5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP = 50 kN 位于 3 mw = 10 kN/m，从 4 到 10 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。C 处作用 8 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 8 kNAB = 4 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.8 m

C = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 200 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 5 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 4000 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 4000 NAB = BC = 200 mmh = 5 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 9.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 9.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 9 mw = 8 kN/m，从 0 到 9 m支座位于 x = 0 和 x = 8 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

槽形截面开口朝上：由宽 140 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 90 mm。底板和两肢厚度均为 10 mm。求形心到底边的高度 ȳ。

b = 140 mmh = 90 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 300 mm切口: 40 × 30 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 137.5 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·2 + (−5)·2 + (−4)·0 = −14

模

|a| = √((−2)² + (−5)² + (−4)²) = 6.708

|b| = √(2² + 2² + 0²) = 2.828

相角

cos θ = −14/(6.708·2.828) = −0.7379

θ = arccos(−0.7379) = 137.5°

答案

θ = 137.5°

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.4477

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·1 − 4·3 = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − (−5)·1 = 13

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·3 − 5·2 = −25

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−7)² + 13² + (−25)²) = 29.03

n̂ = −(−7, 13, −25)/29.03 = (0.2411, −0.4477, 0.861)

n̂_y = −0.4477

答案

n̂_y = −0.4477

3.梁的支座反力

答案: R_A = 29.38 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 20·5

R_B = 205/8 = 25.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 25.63 = 29.38 kN

答案

R_A = 29.38 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 95 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3 + 60·7

R_B = 570/6 = 95 kN

R_A = 110 − 95 = 15 kN

答案

R_B = 95 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 13.75 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 13.75 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 19.45 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 55.83 kN (T), BC: 68.33 kN (T), CD: 68.33 kN (T), DE: 54.17 kN (T), FG: 65.83 kN (C), GH: 64.17 kN (C), AF: 82.29 kN (C), HE: 67.71 kN (C), BF: 34.38 kN (T), CG: 0, DH: 10.63 kN (T), BG: 15.63 kN (C), DG: 17.71 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: C = 5.979 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 4 kN

T = 4·2/1.8 = 4.444 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 4.444 kN, C_y = −B_y = −4 kN

模

C = √(4.444² + 4²) = 5.979 kN

答案

C = 5.979 kN

8.框架与机器

答案: F = 200.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 5/200 = 0.025, θ = 1.433°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 4001 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 200.1 N

答案

F = 200.1 N

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −18 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

在 x = 9.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 20 − 4·9.5 = −18 kN

答案

V_x = −18 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 62.02 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·9 = 72 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·9·4.5

R_B = 324/8 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 40.5 = 31.5 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 31.5/8 = 3.938 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 31.5²/(2·8) = 62.02 kN·m

答案

M_max = 62.02 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 29 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

两肢: A₂ = 2·10·80 = 1600 mm², y₂ = 10 + 80/2 = 50 mm

形心

ȳ = (1400·5 + 1600·50)/3000 = 29 mm

答案

ȳ = 29 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 448.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 1200·120)/(60000 − 1200) = 150.6 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·−0.6122² = 450 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·30³/12 + 1200·−30.61² = 1.215 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 448.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 448.8 × 10⁶ mm⁴

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