静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−10, 30, 30) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(3, 2, −1) 运动到点 B(3, 1, 4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−10, 30, 30) NA(3, 2, −1) mB(3, 1, 4) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (0, 2, −5) 和 b = (3, 1, −1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (0, 2, −5)b = (3, 1, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 4 kN/m。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 60 kN 位于 2 mw = 12 kN/m，从 3 到 5 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示曲柄摇臂绕销钉 O 转动。A 处（距 O 300 mm）的 150 N 竖直力被 B 处（在 O 上方 60 mm）的水平力平衡。求销钉反力的大小 F_O。

F = 150 NOA = 300 mmOB = 60 mm

F_O = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.2 m）。梁在全长上承受 2 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 2 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 2 kN/mP = 2 kNAD = 1.6 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 15 kN 位于 3 mw = 8 kN/m，从 0 到 3 m

M_A = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m45 kN @ 12 m20 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 60 mm，内径 d = 40 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 60 mmd = 40 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = 120 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (3, 1, 4) − (3, 2, −1) = (0, −1, 5) m

功

W = F·d = (−10)·0 + 30·(−1) + 30·5 = 120 J

答案

W = 120 J

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.1826

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−5)·1 = 3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·3 − 0·(−1) = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·1 − 2·3 = −6

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(3² + (−15)² + (−6)²) = 16.43

n̂ = −(3, −15, −6)/16.43 = (−0.1826, 0.9129, 0.3651)

n̂_x = −0.1826

答案

n̂_x = −0.1826

3.梁的支座反力

答案: R_B = 6.667 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·5 = 10 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3.333

R_B = 6.667 kN

R_A = 10 − 6.667 = 3.333 kN

答案

R_B = 6.667 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 43.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 12·2·4

R_B = 216/5 = 43.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 43.2 = 40.8 kN

答案

R_B = 43.2 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −19.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 → C_y = 6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6.25 = 18.75 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18.75/0.9701 = −19.33 kN

答案

F_AB = −19.33 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = 11.18 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 − 30·3 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −5 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5/0.4472 = 11.18 kN

答案

F_BC = 11.18 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_O = 764.9 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

B 处的力

Q = 150·300/60 = 750 N

销钉反力

O_x = 750 N, O_y = 150 N

F_O = √(750² + 150²) = 764.9 N

答案

F_O = 764.9 N

8.框架与机器

答案: F_CD = 11 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 2·2.4 = 4.8 kN 位于 1.2 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.6·1.6 = 4.8·1.2 + 2·2.4 = 10.56 kN·m

F_CD = 11 kN

答案

F_CD = 11 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_A = −81 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −15·3 = −45 kN·m

w: −8·3²/2 = −36 kN·m

M_A = −45 − 36 = −81 kN·m

答案

M_A = −81 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 74.67 kN, R₂ = 81.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −110, M_C = −82.67, M_D = −119.3, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −180 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: r = 18.03 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 1571 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 510509 mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(510509/1571) = 18.03 mm

答案

r = 18.03 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 63.96 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1500·60)/(20000 − 1500) = 103.2 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−3.243² = 66.88 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·30³/12 + 1500·−43.24² = 2.917 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 63.96 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 63.96 × 10⁶ mm⁴

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