静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (0, −3, −6) 与 b = (−2, −1, −3) 的点积 a·b。

a = (0, −3, −6)b = (−2, −1, −3)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (4, 6, −6) 和 b = (6, −3, −2) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (4, 6, −6)b = (6, −3, −2)

A =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 15 kN 位于 5 mP₂ = 80 kN 位于 10 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 7 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 8 mAC = 10 mP = 45 kN 位于 7 mw = 3 kN/m，从 4 到 10 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN

F_AB = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 5 m，B 在地面之上 2.5 m，且位于 A 右侧 0.75 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.375 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 6 kNL = 5 mH = 2.5 mA 到 B 的水平距离 = 0.75 mA 到 K 的水平距离 = 0.375 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1 m）。梁在全长上承受 4 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 8 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 4 kN/mP = 8 kNAD = 1 mAB = 2 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 5.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 5.5 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 1 到 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 35 MPa，容许压应力为 120 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 21

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 0·(−2) + (−3)·(−1) + (−6)·(−3) = 0 + 3 + 18 = 21

答案

a·b = 21

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: A = 63.15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−2) − (−6)·(−3) = −30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·6 − 4·(−2) = −28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−3) − 6·6 = −48

面积

A = |a × b| = √((−30)² + (−28)² + (−48)²) = 63.15

答案

A = 63.15

3.梁的支座反力

答案: R_A = −50.83 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 80·10

R_B = 875/6 = 145.8 kN

竖向平衡

R_A = 15 + 80 − 145.8 = −50.83 kN

答案

R_A = −50.83 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 7.875 kN

分布荷载的合力

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 18·7

R_B = 441/8 = 55.13 kN

R_A = 63 − 55.13 = 7.875 kN

答案

R_A = 7.875 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AB = −7.906 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2.5 = 7.5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7.5/0.9487 = −7.906 kN

答案

F_AB = −7.906 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 36.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 + 10·2 → C_y = 36.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 36.25 = 8.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36.25/0.7071 = −51.27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−51.27)·0.7071 = 36.25 kN

答案

F_AC = 36.25 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: F_BC = 0.8875 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(4.25² + 2.5²) = 4.931 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2.5/4.931)·5 = 6·0.375

F_BC = 0.8875 kN （压缩）

答案

F_BC = 0.8875 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 33.94 kN

均布载荷的合力

w·L = 4·2 = 8 kN 位于 1 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7071·1 = 8·1 + 8·2 = 24 kN·m

F_CD = 33.94 kN

答案

F_CD = 33.94 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −5 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

在 x = 5.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 50 − 10·5.5 = −5 kN

答案

V_x = −5 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 23.04 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·4·3

R_B = 96/5 = 19.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 19.2 = 12.8 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 12.8/8 = 2.6 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 12.8·2.6 − 8·1.6²/2 = 23.04 kN·m

答案

M_max = 23.04 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 21.12 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

腹板: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·207.5 + 2000·100)/5300 = 166.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·15³/12 + 3300·(207.5 − 166.9)² = 5.492 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·200³/12 + 2000·(100 − 166.9)² = 1.563 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.492 × 10⁶ + 1.563 × 10⁷ = 2.112 × 10⁷ mm⁴ = 21.12 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 21.12 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 8.319 kN·m

形心

ȳ = (2000·190 + 1440·90)/3440 = 148.1 mm

上边缘: c = 200 − 148.1 = 51.86 mm

惯性矩

I = 100·20³/12 + 2000·41.86² + 8·180³/12 + 1440·58.14² = 1.233 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 35·1.233 × 10⁷/51.86 = 8.319 kN·m

下边缘: M = 120·1.233 × 10⁷/148.1 = 9.985 kN·m

控制值

M_allow = min = 8.319 kN·m (上边缘)

答案

M_allow = 8.319 kN·m

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