静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (1, −5, −2) 与 b = (4, 2, 6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (1, −5, −2)b = (4, 2, 6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, −1, −4)、b = (5, −1, −2) 和 c = (5, 2, 1)。

a = (0, −1, −4)b = (5, −1, −2)c = (5, 2, 1)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 45 kN 位于 1.5 mP₂ = 30 kN 位于 2 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 25 kN 位于 6 mw = 10 kN/m，从 2 到 3 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 10° 角。B 处施加 150 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 150 Nθ = 10°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 5 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

30 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 50 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 116 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 1·4 + (−5)·2 + (−2)·6 = −18

模

|a| = √(1² + (−5)² + (−2)²) = 5.477

|b| = √(4² + 2² + 6²) = 7.483

相角

cos θ = −18/(5.477·7.483) = −0.4392

θ = arccos(−0.4392) = 116°

答案

θ = 116°

2.向量：点积和叉积

答案: V = 45

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·1 − (−2)·2 = 3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·5 − 5·1 = −15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·2 − (−1)·5 = 15

与 a 的点积

a·(b × c) = 0·3 + (−1)·(−15) + (−4)·15 = −45

V = |−45| = 45

答案

V = 45

3.梁的支座反力

答案: R_A = 43.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 30·2

R_B = 127.5/4 = 31.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 31.88 = 43.13 kN

答案

R_A = 43.13 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 13.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 10·1·2.5

R_B = 175/8 = 21.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 21.88 = 13.13 kN

答案

R_A = 13.13 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 60 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 73.33 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 73.33 kN (C), AF: 75 kN (C), HE: 91.67 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 25 kN (C), DG: 8.333 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 68.75 kN (T), BC: 92.5 kN (T), CD: 92.5 kN (T), DE: 76.25 kN (T), FG: 93.75 kN (C), GH: 101.3 kN (C), AF: 132.6 kN (C), HE: 107.8 kN (C), BF: 53.75 kN (T), CG: 0, DH: 36.25 kN (T), BG: 33.59 kN (C), DG: 22.98 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 425.3 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 10° = 150

F_link = 431.9 N

夹紧力

Q = F_link·cos 10° = 150/(2·tan 10°) = 425.3 N

答案

Q = 425.3 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 2.836 会无限增大。

8.框架与机器

答案: A = 32.52 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳拉力

T = (12 + 2/2)/0.3714 = 35 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 32.5 kN

A_y = 12 + 2 − T·sin β = 1 kN

模

A = √(32.5² + 1²) = 32.52 kN

答案

A = 32.52 kN

9.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 22 kN, R₂ = 32 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 36, M_D = 48, M_E = 56 kN·m, M_F = 30, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 56 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 61.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·5 + 8·6·3

R_B = 394/6 = 65.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 65.67 = 32.33 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 32.33·5 − 8·5·2.5 = 61.67 kN·m

答案

M_x = 61.67 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 11.88 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

腹板: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·135 + 1920·60)/10920 = 121.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·30³/12 + 9000·(135 − 121.8)² = 2.24 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·120³/12 + 1920·(60 − 121.8)² = 9.64 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.24 × 10⁶ + 9.64 × 10⁶ = 1.188 × 10⁷ mm⁴ = 11.88 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 11.88 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 191.5 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

腹板: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·175 + 2560·80)/11560 = 154 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·30³/12 + 9000·(175 − 154)² = 4.658 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·160³/12 + 2560·(80 − 154)² = 1.947 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.658 × 10⁶ + 1.947 × 10⁷ = 2.412 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 154 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·154/2.412 × 10⁷ = 191.5 MPa

答案

σ_底部 = 191.5 MPa

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