静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, −2, 4) 与 b = (−3, 4, 6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, −2, 4)b = (−3, 4, 6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(3, 2, 3)、B(2, 0, −3)、C(−3, −3, 1) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(3, 2, 3)B(2, 0, −3)C(−3, −3, 1)

A = m²

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 20 kN 位于 6 mP₂ = 55 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 3 m 到位于 8 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 6 mAC = 8 mP = 25 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 3 到 8 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓H: 30 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 20° 角。B 处施加 100 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 100 Nθ = 20°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 2 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 4 m。B 处悬挂 12 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 4 mAC = 4 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 6 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 5 mw = 10 kN/m，从 1 到 5 m

x₀ = m

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 14 mm，总高度 220 mm，腹板厚 10 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 20 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 130 mmH = 220 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 20 kN·m

σ_max = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 54.9 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·(−3) + (−2)·4 + 4·6 = 22

模

|a| = √((−2)² + (−2)² + 4²) = 4.899

|b| = √((−3)² + 4² + 6²) = 7.81

相角

cos θ = 22/(4.899·7.81) = 0.575

θ = arccos(0.575) = 54.9°

答案

θ = 54.9°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 21.69 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−1, −2, −6)

AC = C − A = (−6, −5, −2)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·(−2) − (−6)·(−5) = −26

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−6)·(−6) − (−1)·(−2) = 34

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−5) − (−2)·(−6) = −7

|AB × AC| = √((−26)² + 34² + (−7)²) = 43.37

三角形的面积

A = ½·43.37 = 21.69 m²

答案

A = 21.69 m²

3.梁的支座反力

答案: R_A = 11.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·6 + 55·7

R_B = 505/8 = 63.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 63.13 = 11.88 kN

答案

R_A = 11.88 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 40.83 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1 + 40·5.5

R_B = 245/6 = 40.83 kN

R_A = 65 − 40.83 = 24.17 kN

答案

R_B = 40.83 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −35.36 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·5 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 25 = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0.7071 = −35.36 kN

答案

F_BC = −35.36 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 6.25 kN (T), BC: 6.25 kN (T), CD: 53.75 kN (T), DE: 53.75 kN (T), FG: 72.5 kN (C), GH: 72.5 kN (C), AF: 51.27 kN (C), HE: 76.01 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 51.27 kN (T), HC: 15.91 kN (C)

答案

零杆: BF

7.框架与机器

答案: Q = 137.4 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 20° = 100

F_link = 146.2 N

夹紧力

Q = F_link·cos 20° = 100/(2·tan 20°) = 137.4 N

答案

Q = 137.4 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.374 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 18.38 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(4² + 4²) = 5.657 m, sin β = 0.7071

对 A 取矩

T·0.7071·4 = 12·4 + 2·2

T = 18.38 kN

答案

T = 18.38 kN

9.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 40.83 kN, R₂ = 24.17 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 81.67, M_C = 113.3, M_D = 145 kN·m, M_E = 96.67, M_F = 48.33, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 145 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: x₀ = 2.6 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/10 = 2.6 m

答案

x₀ = 2.6 m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.49 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 706.9·105)/(22500 − 706.9) = 74.03 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·0.973² = 42.21 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·30.97² = 0.7179 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 41.49 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.49 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_max = 49.36 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 220 − 2·14 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·220³ − 120·192³)/12

I_x = 4.457 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

y = 110 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·110/4.457 × 10⁷ = 49.36 MPa

答案

σ_max = 49.36 MPa

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