静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模
|a| = √(ax² + ay² + az²)
单位向量
û = a/|a|
由角度求分量
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
点积
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影
a·b/|b|
功
W = F·d
叉积
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
面积
平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩
MO = r × F, r = A − O
平行六面体的体积
V = |a·(b × c)|

方法

  1. 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
  2. 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
  3. 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
  4. 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

方法

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等
xyzab

求向量 a = (−2, 2, −6) 与 b = (−2, −3, −6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, 2, −6)b = (−2, −3, −6)
θ = °
2.向量：点积和叉积困难
xyzab

对于 a = (3, 3, 5) 和 b = (−1, −2, −2)，求叉积 a × b 的 y 分量 (a × b)y。

a = (3, 3, 5)b = (−1, −2, −2)
(a × b)y =
3.梁的支座反力中等
P = 20 kNM = 20 kN·mABRA​ = ?2 m0.5 m3.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RA，以向上为正。

L = 6 mP = 20 kN 位于 2 mM = 20 kN·m (顺时针) 位于 2.5 m
RA = kN
4.梁的支座反力困难
w0​ = 8 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?1.5 m3.5 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 8 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 80 kN 位于 1.5 m
MA = kN·m
5.桁架：节点法中等
ABCDEFGH30 kN4 × 3 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 30 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 BG
  13. 13杆件 DG
6.桁架：节点法困难
ABCDEFGH35 kN15 kN25 kN4 × 4 m3 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 25 kN →
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
7.框架与机器中等
15 kN2 m1 m2.6 mABCDE

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。C 处作用 15 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 15 kNAB = 2 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1 m
C = kN
8.框架与机器困难
15 kN3 kN5 m2 mABC

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 15 kNWb = 3 kNAB = 5 mAC = 2 m
T = kN
9.剪力和弯矩中等
P1​ = 40 kNP2​ = 10 kNABC2 m4 m2 m

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求荷载 P1 处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP1 = 40 kN 位于 2 mP2 = 10 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mx = kN·m
10.剪力和弯矩困难
w = 12 kN/mP = 20 kNAB1.5 m3.5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 5 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 m
Mmax = kN·m
11.形心和惯性矩中等
20090t = 14ȳ = ?尺寸单位为 mm

槽形截面开口朝上：由宽 200 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 90 mm。底板和两肢厚度均为 14 mm。 求形心到底边的高度 ȳ。

b = 200 mmh = 90 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.形心和惯性矩困难
3001012020x正弯矩 M尺寸单位为 mm

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 30 MPa，容许压应力为 120 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。

bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 120 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 42.93 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·(−2) + 2·(−3) + (−6)·(−6) = 34

模

|a| = √((−2)² + 2² + (−6)²) = 6.633
|b| = √((−2)² + (−3)² + (−6)²) = 7

相角

cos θ = 34/(6.633·7) = 0.7322
θ = arccos(0.7322) = 42.93°

答案

θ = 42.93°
2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)y = 1

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)x = aybz − azby = 3·(−2) − 5·(−2) = 4
(a × b)y = azbx − axbz = 5·(−1) − 3·(−2) = 1
(a × b)z = axby − aybx = 3·(−2) − 3·(−1) = −3

所求分量

(a × b)y = 1

答案

(a × b)y = 1

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: RA = 10 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·6 − 20·2 − 20 = 0
RB = 60/6 = 10 kN

竖向平衡

RA = 20 − 10 = 10 kN

答案

RA = 10 kN

负的反力向下作用。

4.梁的支座反力

答案: MA = 153.3 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1.667 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 20·1.667 + 80·1.5 = 153.3 kN·m

答案

MA = 153.3 kN·m
5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7.5 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 7.5 kN (C), AF: 31.82 kN (C), HE: 10.61 kN (C), BF: 7.5 kN (C), CG: 0, DH: 7.5 kN (T), BG: 10.61 kN (T), DG: 10.61 kN (C)

答案

零杆: CG
6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 58.75 kN (T), BC: 58.75 kN (T), CD: 32.92 kN (T), DE: 32.92 kN (T), FG: 45.83 kN (C), GH: 45.83 kN (C), AF: 42.19 kN (C), HE: 41.15 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 16.15 kN (C), HC: 16.15 kN (T)

答案

零杆: CG
7.框架与机器

答案: C = 8.036 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

By = 7.5 kN
T = 7.5·1/2.6 = 2.885 kN

BC 上销钉力的分量

Cx = T = 2.885 kN, Cy = −By = −7.5 kN

模

C = √(2.885² + 7.5²) = 8.036 kN

答案

C = 8.036 kN
8.框架与机器

答案: T = 44.43 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(5² + 2²) = 5.385 m, sin β = 0.3714

对 A 取矩

T·0.3714·5 = 15·5 + 3·2.5
T = 44.43 kN

答案

T = 44.43 kN
9.剪力和弯矩

答案: Mx = 46.67 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣMA = 0: RB·6 = 40·2 + 10·8
RB = 160/6 = 26.67 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 26.67 = 23.33 kN

在 P1 处截开，保留左侧部分

Mx = RA·2 = 23.33·2 = 46.67 kN·m

答案

Mx = 46.67 kN·m
10.剪力和弯矩

答案: Mmax = 54 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1.5 + 12·5·2.5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 36 = 44 kN

V = 0 在哪里？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (44 − 20)/12 = 2 m

最大弯矩

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1.5) − w·x0²/2 = 54 kN·m

答案

Mmax = 54 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: ȳ = 26.43 mm

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成若干矩形

底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。

基质: A1 = 200·14 = 2800 mm², y1 = 7 mm
两肢: A2 = 2·14·76 = 2128 mm², y2 = 14 + 76/2 = 52 mm

形心

ȳ = (2800·7 + 2128·52)/4928 = 26.43 mm

答案

ȳ = 26.43 mm
12.形心和惯性矩

答案: Mallow = 2.665 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (3000·125 + 2400·60)/5400 = 96.11 mm
上边缘: c = 130 − 96.11 = 33.89 mm

惯性矩

I = 300·10³/12 + 3000·28.89² + 20·120³/12 + 2400·36.11² = 8.538 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 120·8.538 × 10⁶/33.89 = 30.23 kN·m
下边缘: M = 30·8.538 × 10⁶/96.11 = 2.665 kN·m

控制值

Mallow = min = 2.665 kN·m (下边缘)

答案

Mallow = 2.665 kN·m

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