静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (2, −1, −4) 与 b = (6, 6, −5) 的点积 a·b。

a = (2, −1, −4)b = (6, 6, −5)

a·b =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−3, 0, 4) 和 b = (−3, −5, 5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−3, 0, 4)b = (−3, −5, 5)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 35 kN 位于 2.5 mP₂ = 65 kN 位于 4 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 15 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 5 到 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 20 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 20° 角。B 处施加 300 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 300 Nθ = 20°

Q = N

8.框架与机器困难

一根重 3 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 15 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 2.5 mAC = 2 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 3 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 65 kN 位于 3 mw = 3 kN/m，从 0 到 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 15 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: a·b = 26

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 2·6 + (−1)·6 + (−4)·(−5) = 12 + (−6) + 20 = 26

答案

a·b = 26

为正：两向量的夹角小于 90°。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.7943

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·5 − 4·(−5) = 20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·(−3) − (−3)·5 = 3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−5) − 0·(−3) = 15

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(20² + 3² + 15²) = 25.18

n̂ = (20, 3, 15)/25.18 = (0.7943, 0.1191, 0.5957)

n̂_x = 0.7943

答案

n̂_x = 0.7943

3.梁的支座反力

答案: R_B = 115.8 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 35·2.5 + 65·4

R_B = 347.5/3 = 115.8 kN

竖向平衡

R_A = 35 + 65 − 115.8 = −15.83 kN

答案

R_B = 115.8 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_A = 11.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·4 + 12·1·5.5

R_B = 126/8 = 15.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15.75 = 11.25 kN

答案

R_A = 11.25 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −42.52 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41.25 = 13.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41.25/0.9701 = −42.52 kN

答案

F_BC = −42.52 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −22.53 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 + 20·2 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 12.5 = −2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12.5/0.5547 = −22.53 kN

答案

F_BC = −22.53 kN (受压)

7.框架与机器

答案: Q = 412.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 20° = 300

F_link = 438.6 N

夹紧力

Q = F_link·cos 20° = 300/(2·tan 20°) = 412.1 N

答案

Q = 412.1 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 1.374 会无限增大。

8.框架与机器

答案: T = 26.41 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(2.5² + 2²) = 3.202 m, sin β = 0.6247

对 A 取矩

T·0.6247·2.5 = 15·2.5 + 3·1.25

T = 26.41 kN

答案

T = 26.41 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −136 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −65·2 = −130 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_x = −130 − 6 = −136 kN·m

答案

M_x = −136 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 104 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·2 + 10·10·5

R_B = 530/10 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 53 = 62 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 62·2 − 10·2·1 = 104 kN·m

答案

M_x = 104 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 19.95 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

腹板: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·175 + 2240·80)/8240 = 149.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·30³/12 + 6000·(175 − 149.2)² = 4.452 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·160³/12 + 2240·(80 − 149.2)² = 1.55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.452 × 10⁶ + 1.55 × 10⁷ = 1.995 × 10⁷ mm⁴ = 19.95 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 19.95 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 99.26 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 1500·120)/(30000 − 1500) = 98.95 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·1.053² = 100 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·30³/12 + 1500·21.05² = 0.7773 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 99.26 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 99.26 × 10⁶ mm⁴

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