静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (20, −10, 10) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−2, −1, −4) 运动到点 B(−5, 0, −5)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (20, −10, 10) NA(−2, −1, −4) mB(−5, 0, −5) m

W = J

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−1, −2, −5) 和 b = (−2, 0, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−1, −2, −5)b = (−2, 0, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 7 m 承受均布荷载 w，并在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 55 kN 位于 3 mw = 5 kN/m，从 0 到 7 m

M_A = kN·m

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 55 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 2 到 4 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 55 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 25 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 2 m。C 处作用 4 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 4 kNAB = 3 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 2 m

C = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 120 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 20 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 1500 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 1500 NAB = BC = 120 mmh = 20 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 300 mm 的板有一个宽 40 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mm切口: 40 × 50 mm孔心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: W = −80 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−5, 0, −5) − (−2, −1, −4) = (−3, 1, −1) m

功

W = F·d = 20·(−3) + (−10)·1 + 10·(−1) = −80 J

答案

W = −80 J

负功：力主要与运动方向相反。

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.9045

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·2 − (−5)·0 = −4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−2) − (−1)·2 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·0 − (−2)·(−2) = −4

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−4)² + 12² + (−4)²) = 13.27

n̂ = −(−4, 12, −4)/13.27 = (0.3015, −0.9045, 0.3015)

n̂_y = −0.9045

答案

n̂_y = −0.9045

3.梁的支座反力

答案: M_A = 287.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 5·7 = 35 kN, x̄ = 3.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 55·3 + 35·3.5 = 287.5 kN·m

答案

M_A = 287.5 kN·m

4.梁的支座反力

答案: R_B = 22.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1.5 + 5·2·3

R_B = 112.5/5 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 22.5 = 42.5 kN

答案

R_B = 22.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 16.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22 = 33 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22/0.8 = −27.5 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27.5)·0.6 = 16.5 kN

答案

F_AC = 16.5 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −42.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 − 25·4 → C_y = 1.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 1.25 = 33.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33.75/0.8 = −42.19 kN

答案

F_AB = −42.19 kN (受压)

7.框架与机器

答案: C = 2.5 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 2 kN

T = 2·1.5/2 = 1.5 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 1.5 kN, C_y = −B_y = −2 kN

模

C = √(1.5² + 2²) = 2.5 kN

答案

C = 2.5 kN

8.框架与机器

答案: F = 507.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 20/120 = 0.1667, θ = 9.594°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 1521 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 507.1 N

答案

F = 507.1 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 12·1 − 6·1·0.5 = 9 kN·m

答案

M_x = 9 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 15 kN, R₂ = 165 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 7.5, M_C = 0, M_D = −22.5, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −120 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 85.87 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·292.5 + 3920·140)/11420 = 240.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·25³/12 + 7500·(292.5 − 240.2)² = 2.094 × 10⁷ mm⁴

腹板: 14·280³/12 + 3920·(140 − 240.2)² = 6.493 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.094 × 10⁷ + 6.493 × 10⁷ = 8.587 × 10⁷ mm⁴ = 85.87 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 85.87 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 2000·105)/(45000 − 2000) = 152.1 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·−2.093² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·50³/12 + 2000·−47.09² = 4.852 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 332.8 × 10⁶ mm⁴

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