静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, 4, 2) 与 b = (1, −6, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, 4, 2)b = (1, −6, −4)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (3, 0, −4) 和 b = (3, 3, 3)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (3, 0, −4)b = (3, 3, 3)

(a × b)_z =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 30 kN 位于 1.5 mP₂ = 50 kN 位于 2 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 4 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 6 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 20 kN 位于 6 m

M_A = kN·m

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓G: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 30 kN →

F_BC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4.8 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.8 m，作用 20 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 20 kNAB = 4.8 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1 mA 到 K 的水平距离 = 1.8 m

T = kN

8.框架与机器困难

一个肘节压力机有两根相等的连杆 AB 和 BC，两销钉之间各长 150 mm。接头 B 位于直线 AC 上方 25 mm。B 处需要多大的向下力 F，才能在滑块 C 处产生 1500 N 的水平压力？忽略摩擦和自重。

Q = 1500 NAB = BC = 150 mmh = 25 mm

F = N

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 6.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 2 kN/m，从 0 到 8 mx = 6.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 0 m25 kN @ 12 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 18 mm，总高度 260 mm，腹板厚 12 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 110 mmH = 260 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 162.4 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·1 + 4·(−6) + 2·(−4) = −34

模

|a| = √((−2)² + 4² + 2²) = 4.899

|b| = √(1² + (−6)² + (−4)²) = 7.28

相角

cos θ = −34/(4.899·7.28) = −0.9533

θ = arccos(−0.9533) = 162.4°

答案

θ = 162.4°

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 9

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·3 − (−4)·3 = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·3 − 3·3 = −21

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − 0·3 = 9

所求分量

(a × b)_z = 9

答案

(a × b)_z = 9

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 43.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.5 + 50·2

R_B = 145/4 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36.25 = 43.75 kN

答案

R_A = 43.75 kN

4.梁的支座反力

答案: M_A = 144 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2 + 20·6 = 144 kN·m

答案

M_A = 144 kN·m

5.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 26.25 kN (T), CD: 43.75 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 37.12 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 37.12 kN (T), HC: 12.37 kN (T)

答案

零杆: BF

6.桁架：节点法

答案: F_BC = −42.82 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 + 30·2 → C_y = 23.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 23.75 = 11.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23.75/0.5547 = −42.82 kN

答案

F_BC = −42.82 kN (受压)

7.框架与机器

答案: T = 5.143 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 20·1.8/4.8 = 7.5 kN

腿 BC：对 C 取矩

7.5·2.4 = T·3.5

T = 5.143 kN

答案

T = 5.143 kN

8.框架与机器

答案: F = 507.1 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

连杆角

sin θ = 25/150 = 0.1667, θ = 9.594°

连杆力

F_link = Q/cos θ = 1521 N

B 处的力

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 507.1 N

答案

F = 507.1 N

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 9.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 6.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 8·6.5 − 2·6.5·3.25 = 9.75 kN·m

答案

M_x = 9.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 31.25 kN, R₂ = 33.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 2.5, M_D = −15, M_E = −32.5, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −50 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 69.32 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 260 − 2·18 = 224 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·260³ − 98·224³)/12

I_x = 6.932 × 10⁷ mm⁴ = 69.32 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 69.32 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 128.6 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

腹板: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·305 + 3000·150)/4600 = 203.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·10³/12 + 1600·(305 − 203.9)² = 1.636 × 10⁷ mm⁴

腹板: 10·300³/12 + 3000·(150 − 203.9)² = 3.122 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.636 × 10⁷ + 3.122 × 10⁷ = 4.758 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 203.9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·203.9/4.758 × 10⁷ = 128.6 MPa

答案

σ_底部 = 128.6 MPa

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