静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (6, 4, −2) 与 b = (2, 0, 5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (6, 4, −2)b = (2, 0, 5)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (4, −1, −1) 和 b = (−2, 0, −3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (4, −1, −1)b = (−2, 0, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 55 kN 位于 2 mP₂ = 80 kN 位于 4 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 2 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 6 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5.5 m 处的集中荷载 P。求滚动支座处的反力 R_D。

AC = 2 mAD = 6 mP = 20 kN 位于 5.5 m

R_D = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 45 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示肘节夹具中，两根相等的连杆 AB 和 BC 在 B 处铰接，每根与直线 AC 成 5° 角。B 处施加 400 N 的向下力。滑块 C 压在工件上。忽略摩擦和自重，求水平夹紧力 Q。

F = 400 Nθ = 5°

Q = N

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.2 m）。梁在全长上承受 1.5 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 12 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 1.5 kN/mP = 12 kNAD = 1.5 mAB = 3.6 mAC = 1.2 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 7 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 55 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mM₀ = 55 kN·m 顺时针，作用于 7 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 35 kN 位于 1.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 150 mm 的板有一个宽 50 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 97.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mm切口: 50 × 20 mm孔心: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 87.16 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 6·2 + 4·0 + (−2)·5 = 2

模

|a| = √(6² + 4² + (−2)²) = 7.483

|b| = √(2² + 0² + 5²) = 5.385

相角

cos θ = 2/(7.483·5.385) = 0.04963

θ = arccos(0.04963) = 87.16°

答案

θ = 87.16°

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.2075

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−3) − (−1)·0 = 3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−2) − 4·(−3) = 14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·0 − (−1)·(−2) = −2

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(3² + 14² + (−2)²) = 14.46

n̂ = −(3, 14, −2)/14.46 = (−0.2075, −0.9684, 0.1383)

n̂_x = −0.2075

答案

n̂_x = −0.2075

3.梁的支座反力

答案: R_A = −8.333 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 55·2 + 80·4

R_B = 430/3 = 143.3 kN

竖向平衡

R_A = 55 + 80 − 143.3 = −8.333 kN

答案

R_A = −8.333 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

4.梁的支座反力

答案: R_D = 17.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·4 = 20·3.5

R_D = 17.5 kN

V_C = 20 − 17.5 = 2.5 kN

答案

R_D = 17.5 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 11.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11.25 = 33.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.7071 = −15.91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15.91)·0.7071 = 11.25 kN

答案

F_AC = 11.25 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 5 kN (T), BC: 25 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 28.28 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 28.28 kN (C), DG: 7.071 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: Q = 2286 N

机器：钳子、杠杆、连杆机构和夹具把输入力转化为更大或方向不同的输出力。把其中一个部件画成分离体，并对其枢轴取矩：销钉力消去，F_in·a = F_out·b 给出机械利益 a/b。然后对同一部件用 ΣF = 0 求销钉力。在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交；每根连杆是二力杆，所以接头处的小力 F 会产生很大的连杆力 F/(2 sin θ) 和夹紧力 F/(2 tan θ)。

销钉 B 的平衡

2·F_link·sin 5° = 400

F_link = 2295 N

夹紧力

Q = F_link·cos 5° = 400/(2·tan 5°) = 2286 N

答案

Q = 2286 N

随着连杆伸直，力比 Q/F = 5.715 会无限增大。

8.框架与机器

答案: F_CD = 56.48 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

均布载荷的合力

w·L = 1.5·3.6 = 5.4 kN 位于 1.8 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.6247·1.5 = 5.4·1.8 + 12·3.6 = 52.92 kN·m

F_CD = 56.48 kN

答案

F_CD = 56.48 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −48.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 55/8 = 6.875 kN (向上)

R_A = −R_B = −6.875 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −6.875·7 = −48.13 kN·m

答案

M_x = −48.13 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 34.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1.5 + 5·5·2.5

R_B = 115/5 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 23 = 37 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·1 − 5·1·0.5 = 34.5 kN·m

答案

M_x = 34.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 6.058 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

腹板: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·127.5 + 1440·60)/4140 = 104 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(127.5 − 104)² = 1.539 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·120³/12 + 1440·(60 − 104)² = 4.519 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.539 × 10⁶ + 4.519 × 10⁶ = 6.058 × 10⁶ mm⁴ = 6.058 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 6.058 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.55 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (15000·75 − 1000·97.5)/(15000 − 1000) = 73.39 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·1.607² = 28.16 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·20³/12 + 1000·24.11² = 0.6145 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 27.55 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.55 × 10⁶ mm⁴

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