静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−2, −2, 1) 与 b = (1, k, −5) 垂直的 k 的值。

a = (−2, −2, 1)b = (1, k, −5)

k =

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (50, −20, 10) N 作用在点 A(−1, −3, −2)。坐标单位为米。求该力对点 O(0, 1, 2) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (50, −20, 10) NA(−1, −3, −2) mO(0, 1, 2) m

M_x = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 40 kN 位于 2.5 mP₂ = 25 kN 位于 3 m

R_B = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 6 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 45°；距 A 为 4 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 8 mP = 10 kN 位于 6 m, θ = 45°Q = 70 kN 位于 4 m

α = °

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1 m。C 处作用 10 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 10 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 1.5 m）。梁在全长上承受 1 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 15 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 1 kN/mP = 15 kNAD = 1.2 mAB = 1.5 mAC = 1.5 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 4.5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 45 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM₀ = 45 kN·m 顺时针，作用于 4.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 4 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −3.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−2)·1 + (−2)·k + 1·(−5) = 0

−7 + (−2)·k = 0

解出 k

k = −(−7)/(−2) = −3.5

答案

k = −3.5

2.向量：点积和叉积

答案: M_x = −120 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−1, −3, −2) − (0, 1, 2) = (−1, −4, −4) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·10 − (−4)·(−20) = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−4)·50 − (−1)·10 = −190 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−20) − (−4)·50 = 220 N·m

所求分量

M_x = −120 N·m

答案

M_x = −120 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_B = 35 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2.5 + 25·3

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35 = 30 kN

答案

R_B = 35 kN

4.梁的支座反力

答案: α = 79.11 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 10·sin 45° = 7.071 kN

P_h = 10·cos 45° = 7.071 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 7.071·6 + 70·4 → R_B = 40.3 kN

A_y = 7.071 + 70 − 40.3 = 36.77 kN

A_x = P_h = 7.071 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(36.77/7.071) = 79.11°

答案

α = 79.11°

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.13 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 16.87 kN (T), FG: 28.12 kN (C), GH: 16.87 kN (C), AF: 46.88 kN (C), HE: 28.12 kN (C), BF: 2.5 kN (T), CG: 0, DH: 22.5 kN (T), BG: 9.375 kN (T), DG: 9.375 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 29.69 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·3 + 10·4 → C_y = 23.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 23.75 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23.75/0.6247 = −38.02 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−38.02)·0.7809 = 29.69 kN

答案

F_AC = 29.69 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: C = 5.286 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 5 kN

T = 5·1.2/3.5 = 1.714 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 1.714 kN, C_y = −B_y = −5 kN

模

C = √(1.714² + 5²) = 5.286 kN

答案

C = 5.286 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 25.21 kN

均布载荷的合力

w·L = 1·1.5 = 1.5 kN 位于 0.75 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.7809·1.2 = 1.5·0.75 + 15·1.5 = 23.63 kN·m

F_CD = 25.21 kN

答案

F_CD = 25.21 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −33.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 45/6 = 7.5 kN (向上)

R_A = −R_B = −7.5 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −7.5·4.5 = −33.75 kN·m

答案

M_x = −33.75 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 101.5 kN, R₂ = 66.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −90 kN·m, M_C = 11, M_D = 8, M_E = −19, M_F = −70, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −90 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 1963·210)/(45000 − 1963) = 147.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·2.737² = 337.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·62.74² = 8.035 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 14 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (1600·305 + 3000·150)/4600 = 203.9 mm

上边缘: c = 310 − 203.9 = 106.1 mm

惯性矩

I = 160·10³/12 + 1600·101.1² + 10·300³/12 + 3000·53.91² = 4.758 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 90·4.758 × 10⁷/106.1 = 40.37 kN·m

下边缘: M = 60·4.758 × 10⁷/203.9 = 14 kN·m

控制值

M_allow = min = 14 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 14 kN·m

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