静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−1, −6, 5) 与 b = (k, −2, −3) 垂直的 k 的值。

a = (−1, −6, 5)b = (k, −2, −3)

k =

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (4, 6, 2) 和 b = (−4, −2, −3) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (4, 6, 2)b = (−4, −2, −3)

A =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 20 kN 位于 2 mP₂ = 55 kN 位于 8 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP = 45 kN 位于 5 mw = 12 kN/m，从 2 到 3 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3.2 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。C 处作用 4 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 4 kNAB = 3.2 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.2 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 8 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 3.6 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.9 m 处承受 4 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 3 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 4 kNQ = 3 kNL = 8 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 3.6 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_顶部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−1)·k + (−6)·(−2) + 5·(−3) = 0

−3 + (−1)·k = 0

解出 k

k = −(−3)/(−1) = −3

答案

k = −3

2.向量：点积和叉积

答案: A = 21.63

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−3) − 2·(−2) = −14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−4) − 4·(−3) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−2) − 6·(−4) = 16

面积

A = |a × b| = √((−14)² + 4² + 16²) = 21.63

答案

A = 21.63

3.梁的支座反力

答案: R_A = 27 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 55·8

R_B = 480/10 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 48 = 27 kN

答案

R_A = 27 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 31.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 12·1·2.5

R_B = 255/8 = 31.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 31.88 = 25.13 kN

答案

R_B = 31.88 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 13.13 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8.75 = 26.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.75/0.5547 = −15.77 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15.77)·0.8321 = 13.13 kN

答案

F_AC = 13.13 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −41.93 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 − 15·2 → C_y = 2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 2.5 = 37.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

答案

F_AB = −41.93 kN (受压)

7.框架与机器

答案: C = 2.404 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 2 kN

T = 2·1.6/2.4 = 1.333 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 1.333 kN, C_y = −B_y = −2 kN

模

C = √(1.333² + 2²) = 2.404 kN

答案

C = 2.404 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 0.855 kN

BC 的方向

BC = 5.946 m, cos = 0.7399, sin = 0.6727

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.6727·8 = 4·0.9 + 3·4

F_BC = 2.899 kN

水平平衡

A_x + 3 − 2.899·0.7399 = 0

A_x = −0.855 kN → |A_x| = 0.855 kN

答案

A_x = 0.855 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = 8 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 6·2 − 2·2·1 = 8 kN·m

答案

M_x = 8 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 5.176 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6.5 = 13 kN，作用于 x̄ = 3.25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·6.5·3.25

R_B = 42.25/5 = 8.45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 13 − 8.45 = 4.55 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 4.55/2 = 2.275 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 4.55²/(2·2) = 5.176 kN·m

答案

M_max = 5.176 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 43.91 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

腹板: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·250 + 4320·120)/6320 = 161.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(250 − 161.1)² = 1.586 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·240³/12 + 4320·(120 − 161.1)² = 2.805 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.586 × 10⁷ + 2.805 × 10⁷ = 4.391 × 10⁷ mm⁴ = 43.91 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 43.91 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 29.69 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167.5 mm

腹板: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·167.5 + 2560·80)/5560 = 127.2 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·15³/12 + 3000·(167.5 − 127.2)² = 4.926 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·160³/12 + 2560·(80 − 127.2)² = 1.117 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.926 × 10⁶ + 1.117 × 10⁷ = 1.609 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 175 − 127.2 = 47.79 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·47.79/1.609 × 10⁷ = 29.69 MPa

答案

σ_顶部 = 29.69 MPa

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