静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−4, −4, 6) 与 b = (−4, −3, −6) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−4, −4, 6)b = (−4, −3, −6)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (0, 10, −30) N 作用在点 A(4, 4, −1)。坐标单位为米。求该力对点 O(−1, 1, −3) 的力矩的 z 分量 M_z。

F = (0, 10, −30) NA(4, 4, −1) mO(−1, 1, −3) m

M_z = N·m

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 45 kN 位于 1.5 mP₂ = 45 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 25 kN 位于 3 mw = 12 kN/m，从 0 到 2 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m，顶部销钉 C 高 4.5 m，水平拉杆 DE 距地面 1.5 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 1.5 m，作用 8 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 8 kNAB = 4 mC 的高度 = 4.5 mDE 的高度 = 1.5 mA 到 K 的水平距离 = 1.5 m

T = kN

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1.5 m。B 处悬挂 4 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 4 kNW_b = 1 kNAB = 3 mAC = 1.5 m

T = kN

9.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP₁ = 65 kN 位于 4 mP₂ = 20 kN 位于 5 m

M_max = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP = 20 kN 位于 7 mw = 5 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 25 kN·m

σ_底部 = MPa

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 97.14 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·(−4) + (−4)·(−3) + 6·(−6) = −8

模

|a| = √((−4)² + (−4)² + 6²) = 8.246

|b| = √((−4)² + (−3)² + (−6)²) = 7.81

相角

cos θ = −8/(8.246·7.81) = −0.1242

θ = arccos(−0.1242) = 97.14°

答案

θ = 97.14°

2.向量：点积和叉积

答案: M_z = 50 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (4, 4, −1) − (−1, 1, −3) = (5, 3, 2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−30) − 2·10 = −110 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·0 − 5·(−30) = 150 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 5·10 − 3·0 = 50 N·m

所求分量

M_z = 50 N·m

答案

M_z = 50 N·m

3.梁的支座反力

答案: R_A = 45 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1.5 + 45·2.5

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 45 = 45 kN

答案

R_A = 45 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 19.8 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3 + 12·2·1

R_B = 99/5 = 19.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 19.8 = 29.2 kN

答案

R_B = 19.8 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 25 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 35.36 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 35 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 63.64 kN (C), HE: 77.78 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 42.43 kN (C), DG: 14.14 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: T = 2 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 8·1.5/4 = 3 kN

腿 BC：对 C 取矩

3·2 = T·3

T = 2 kN

答案

T = 2 kN

8.框架与机器

答案: T = 10.06 kN

缆绳角

BC = √(3² + 1.5²) = 3.354 m, sin β = 0.4472

对 A 取矩

T·0.4472·3 = 4·3 + 1·1.5

T = 10.06 kN

答案

T = 10.06 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_max = 196 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 65·4 + 20·5

R_B = 360/10 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 36 = 49 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·4 = 49·4 = 196 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·5 = 36·5 = 180 kN·m

最大值

M_max = 196 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 196 kN·m

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 50.63 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 5·8·4

R_B = 300/8 = 37.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37.5 = 22.5 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 22.5·4.5 − 5·4.5·2.25 = 50.63 kN·m

答案

M_x = 50.63 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 56.05 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·75 − 706.9·60)/(30000 − 706.9) = 75.36 mm

完整的板关于 ȳ

200·150³/12 + 30000·−0.362² = 56.25 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−15.36² = 0.2066 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 56.05 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 56.05 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 80.89 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

腹板: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·292.5 + 3360·140)/10360 = 243 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·25³/12 + 7000·(292.5 − 243)² = 1.749 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·280³/12 + 3360·(140 − 243)² = 5.763 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.749 × 10⁷ + 5.763 × 10⁷ = 7.511 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 243 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·243/7.511 × 10⁷ = 80.89 MPa

答案

σ_底部 = 80.89 MPa

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