静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−2, 5, −3) 与 b = (−4, −1, −1) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−2, 5, −3)b = (−4, −1, −1)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

求由 a = (3, 5, 4) 和 b = (1, −1, −6) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (3, 5, 4)b = (1, −1, −6)

A =

3.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 7 m 承受均布荷载 w，并在距墙 4 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 10 mP = 70 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 40 kN 位于 2.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。两条腿在销钉 C 处相交，C 高 3.6 m，水平拉杆 DE 距地面 1.8 m。C 处作用 10 kN 的载荷。求销钉 C 作用在腿 BC 上的力的大小 C。

P = 10 kNAB = 4 mC 的高度 = 3.6 mDE 的高度 = 1.8 m

C = kN

8.框架与机器困难

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 3 m，B 高 4 m，位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 在其上 K 点距 A 水平 0.36 m 处承受 12 kN 的竖直载荷，并在 B 处承受 8 kN 向右的水平载荷。求 A 处水平反力的大小 A_x。

P = 12 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 4 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.36 m

A_x = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 70 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 35 kN 位于 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 150 × 18 mm，腹板高 160 mm、厚 16 mm，下翼缘为 260 × 24 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 150 × 18 mm腹板: 16 × 160 mm下翼缘: 260 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 76.74 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·(−4) + 5·(−1) + (−3)·(−1) = 6

模

|a| = √((−2)² + 5² + (−3)²) = 6.164

|b| = √((−4)² + (−1)² + (−1)²) = 4.243

相角

cos θ = 6/(6.164·4.243) = 0.2294

θ = arccos(0.2294) = 76.74°

答案

θ = 76.74°

2.向量：点积和叉积

答案: A = 34.99

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−6) − 4·(−1) = −26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·1 − 3·(−6) = 22

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−1) − 5·1 = −8

面积

A = |a × b| = √((−26)² + 22² + (−8)²) = 34.99

答案

A = 34.99

3.梁的支座反力

答案: R_A = 84 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 2·7 = 14 kN, x̄ = 3.5 m

竖向平衡

R_A = P + W = 70 + 14 = 84 kN

答案

R_A = 84 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 40 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2.5 + 8·5·2.5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

答案

R_B = 40 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 53.75 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 53.75 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 76.01 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 18.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 15.91 kN (T), DG: 15.91 kN (C)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 18.75 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 − 15·2 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 37.5 = 22.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41.93)·0.4472 = 18.75 kN

答案

F_AC = 18.75 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: C = 7.474 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

由腿 BC 求拉杆力

B_y = 5 kN

T = 5·2/1.8 = 5.556 kN

BC 上销钉力的分量

C_x = T = 5.556 kN, C_y = −B_y = −5 kN

模

C = √(5.556² + 5²) = 7.474 kN

答案

C = 7.474 kN

8.框架与机器

答案: A_x = 1.644 kN

BC 的方向

BC = 4.518 m, cos = 0.4648, sin = 0.8854

整个框架：对 A 取矩

F_BC·0.8854·3 = 12·0.36 + 8·4

F_BC = 13.67 kN

水平平衡

A_x + 8 − 13.67·0.4648 = 0

A_x = −1.644 kN → |A_x| = 1.644 kN

答案

A_x = 1.644 kN

负号表示 A_x 指向左。

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −97 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −70·1 = −70 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_x = −70 − 27 = −97 kN·m

答案

M_x = −97 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_max = 134.2 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 12·8·4

R_B = 594/8 = 74.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 131 − 74.25 = 56.75 kN

V = 0 在哪里？

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 56.75/12 = 4.729 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 56.75·4.729 − 12·4.729²/2 = 134.2 kN·m

答案

M_max = 134.2 kN·m

它出现在距 A 为 x = 4.729 m 处。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 99.35 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 1257·120)/(30000 − 1257) = 99.13 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·0.8744² = 100 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20.87² = 0.6732 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 99.35 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 99.35 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 70.35 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 2700 mm², y = 193 mm

腹板: A = 2560 mm², y = 104 mm

下翼缘: A = 6240 mm², y = 12 mm

形心

ȳ = (2700·193 + 2560·104 + 6240·12)/11500 = 74.98 mm

平行移轴定理

上翼缘: 150·18³/12 + 2700·118² = 3.768 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·160³/12 + 2560·29.02² = 7.618 × 10⁶ mm⁴

下翼缘: 260·24³/12 + 6240·62.98² = 2.505 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.768 × 10⁷ + 7.618 × 10⁶ + 2.505 × 10⁷

I_x = 7.035 × 10⁷ mm⁴ = 70.35 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 70.35 × 10⁶ mm⁴

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