静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, −2, 5) 在 b = (0, −2, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−1, −2, 5)b = (0, −2, −1)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (2, −4, 4)、b = (−5, 3, 5) 和 c = (1, −2, −4)。

a = (2, −4, 4)b = (−5, 3, 5)c = (1, −2, −4)

V =

3.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 10 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 7 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 10 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 6 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 10 mP = 75 kN 位于 6 m, θ = 50°Q = 35 kN 位于 2 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN

F_BC = kN

6.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

7.框架与机器中等

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.8 m。B 处悬挂 3 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 3 kNAD = 2 mAB = 2.5 mAC = 0.8 m

A = kN

8.框架与机器困难

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 6 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 6 kNW_b = 1 kNAB = 3 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 7 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 7 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 8 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 40 kN 位于 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 100 mm、厚 22 mm，总高度 240 mm，腹板厚 8 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 100 mmH = 240 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 300 mm 的板有一个宽 30 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 300 mm切口: 30 × 20 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −0.4472

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·0 + (−2)·(−2) + 5·(−1) = −1

b 的长度

|b| = √(0² + (−2)² + (−1)²) = 2.236

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −1/2.236 = −0.4472

答案

comp_b a = −0.4472

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

2.向量：点积和叉积

答案: V = 84

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·(−4) − 5·(−2) = −2

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·1 − (−5)·(−4) = −15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−2) − 3·1 = 7

与 a 的点积

a·(b × c) = 2·(−2) + (−4)·(−15) + 4·7 = 84

V = |84| = 84

答案

V = 84

3.梁的支座反力

答案: R_A = 36.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·3.333 + 10·7

R_B = 23.67 kN

R_A = 60 − 23.67 = 36.33 kN

答案

R_A = 36.33 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 70.17 kN

P 的分量

P_v = 75·sin 50° = 57.45 kN

P_h = 75·cos 50° = 48.21 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 57.45·6 + 35·2 → R_B = 41.47 kN

A_y = 57.45 + 35 − 41.47 = 50.98 kN

A_x = P_h = 48.21 kN

A 处的合力

R_A = √(48.21² + 50.98²) = 70.17 kN

答案

R_A = 70.17 kN

5.桁架：节点法

答案: F_BC = −32.45 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 27 = 18 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0.8321 = −32.45 kN

答案

F_BC = −32.45 kN (受压)

6.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 56.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 28.75 kN (T), FG: 66.25 kN (C), GH: 38.75 kN (C), AF: 93.69 kN (C), HE: 40.66 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 18.75 kN (T), BG: 12.37 kN (T), DG: 26.52 kN (C)

答案

零杆: CG

7.框架与机器

答案: A = 9.405 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

F_CD = 3·2.5/(0.3714·2) = 10.1 kN

A 处的分量

A_x = F_CD·cos α = 9.375 kN （指向墙）

A_y = 3 − F_CD·sin α = −0.75 kN

模

A = √(9.375² + −0.75²) = 9.405 kN

答案

A = 9.405 kN

A_y 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

8.框架与机器

答案: A = 9.763 kN

缆绳拉力

T = (6 + 1/2)/0.5547 = 11.72 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 9.75 kN

A_y = 6 + 1 − T·sin β = 0.5 kN

模

A = √(9.75² + 0.5²) = 9.763 kN

答案

A = 9.763 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −4 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 7 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 10 − 2·7 = −4 kN

答案

V_x = −4 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 112 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·8 + 6·10·5

R_B = 620/10 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 62 = 38 kN

在 x = 8 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 38·8 − 6·8·4 = 112 kN·m

答案

M_x = 112 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 478.9 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 240 − 2·22 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·240³ − 92·196³)/12

I_x = 5.747 × 10⁷ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 120 mm

S_x = I/c = 5.747 × 10⁷/120

S_x = 478946 mm³ = 478.9 × 10³ mm³

答案

S_x = 478.9 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 600·210)/(30000 − 600) = 148.8 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·1.224² = 225 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·20³/12 + 600·61.22² = 2.269 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

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