静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, 4, −7) 在 b = (−1, 5, −3) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−1, 4, −7)b = (−1, 5, −3)

comp_b a =

2.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−2, 5, 0) 和 b = (−5, −1, −1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−2, 5, 0)b = (−5, −1, −1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP₁ = 55 kN 位于 1 mP₂ = 10 kN 位于 7 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 6 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 10 mP = 15 kN 位于 3 m, θ = 60°Q = 65 kN 位于 6 m

R_A = kN

5.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓F: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 30 kN →

F_AB = kN

7.框架与机器中等

图示框架在 A、B、C 处有销钉；A 和 C 固定在地面上，相距 6 m，B 在地面之上 2 m，且位于 A 右侧 0.9 m。杆件 AB 上的 K 点距 A 水平 0.45 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求杆件 BC 中的力 F_BC。

P = 6 kNL = 6 mH = 2 mA 到 B 的水平距离 = 0.9 mA 到 K 的水平距离 = 0.45 m

F_BC = kN

8.框架与机器困难

一根重 0.5 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 2 m。B 处悬挂 10 kN 的载荷。求销钉反力的大小 A。

W = 10 kNW_b = 0.5 kNAB = 5 mAC = 2 m

A = kN

9.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 3 mP = 20 kN 位于 2 mw = 4 kN/m，从 0 到 3 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 20 kN 位于 4 mw = 3 kN/m，从 0 到 5 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 300 mm 的板有一个宽 80 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 300 mm切口: 80 × 40 mm孔心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 7.099

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·(−1) + 4·5 + (−7)·(−3) = 42

b 的长度

|b| = √((−1)² + 5² + (−3)²) = 5.916

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 42/5.916 = 7.099

答案

comp_b a = 7.099

2.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.1816

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−1) − 0·(−1) = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−5) − (−2)·(−1) = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−1) − 5·(−5) = 27

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−5)² + (−2)² + 27²) = 27.53

n̂ = (−5, −2, 27)/27.53 = (−0.1816, −0.07264, 0.9807)

n̂_x = −0.1816

答案

n̂_x = −0.1816

3.梁的支座反力

答案: R_A = 52.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 10·7

R_B = 125/10 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 12.5 = 52.5 kN

答案

R_A = 52.5 kN

4.梁的支座反力

答案: R_A = 35.89 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 15·sin 60° = 12.99 kN

P_h = 15·cos 60° = 7.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12.99·3 + 65·6 → R_B = 42.9 kN

A_y = 12.99 + 65 − 42.9 = 35.09 kN

A_x = P_h = 7.5 kN

A 处的合力

R_A = √(7.5² + 35.09²) = 35.89 kN

答案

R_A = 35.89 kN

5.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.81 kN (T), BC: 35.62 kN (T), CD: 35.62 kN (T), DE: 38.44 kN (T), FG: 32.81 kN (C), GH: 38.44 kN (C), AF: 54.69 kN (C), HE: 64.06 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 4.688 kN (C), DG: 4.688 kN (T)

答案

零杆: CG

6.桁架：节点法

答案: F_AB = −48.45 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·3 + 30·2 → C_y = 28.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 28.13 = 26.88 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26.88/0.5547 = −48.45 kN

答案

F_AB = −48.45 kN (受压)

7.框架与机器

答案: F_BC = 1.233 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆 BC

BC = √(5.1² + 2²) = 5.478 m

整个框架：对 A 取矩

地面在 C 处沿 CB 推 BC；其水平分量通过 A，只有竖直分量有力矩。

F_BC·(2/5.478)·6 = 6·0.45

F_BC = 1.233 kN （压缩）

答案

F_BC = 1.233 kN

8.框架与机器

答案: A = 25.63 kN

缆绳拉力

T = (10 + 0.5/2)/0.3714 = 27.6 kN

A 处的分量

A_x = T·cos β = 25.63 kN

A_y = 10 + 0.5 − T·sin β = 0.25 kN

模

A = √(25.63² + 0.25²) = 25.63 kN

答案

A = 25.63 kN

9.剪力和弯矩

答案: M_x = −42.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −20·1.5 = −30 kN·m

w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m

M_x = −30 − 12.5 = −42.5 kN·m

答案

M_x = −42.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 11.38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4 + 3·5·2.5

R_B = 117.5/5 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 23.5 = 11.5 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 11.5·4.5 − 20·(4.5 − 4) − 3·4.5·2.25 = 11.38 kN·m

答案

M_x = 11.38 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 45.59 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

腹板: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 2400·150)/4600 = 224.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·10³/12 + 2200·(305 − 224.1)² = 1.441 × 10⁷ mm⁴

腹板: 8·300³/12 + 2400·(150 − 224.1)² = 3.119 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.441 × 10⁷ + 3.119 × 10⁷ = 4.559 × 10⁷ mm⁴ = 45.59 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 45.59 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (60000·150 − 3200·120)/(60000 − 3200) = 151.7 mm

完整的板关于 ȳ

200·300³/12 + 60000·−1.69² = 450.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·40³/12 + 3200·−31.69² = 3.64 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 446.5 × 10⁶ mm⁴

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