静力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

框架与机器

每根杆件的平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
二力杆: 力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力: 作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小: F = √(F_x² + F_y²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂: F_in·a = F_out·b
肘节机构: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点

方法

画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0；最后把分量合成为大小。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2练习题

1.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (2, 1, −3) 与 b = (−4, 0, −3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (2, 1, −3)b = (−4, 0, −3)

θ = °

2.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−3, −1, 0) 和 b = (−5, 0, 3)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (−3, −1, 0)b = (−5, 0, 3)

(a × b)_x =

3.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 70 kN 位于 3 mP₂ = 75 kN 位于 10 m

R_A = kN

4.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并从 5 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP = 40 kN 位于 1 mw = 8 kN/m，从 5 到 10 m

R_B = kN

5.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN

F_AC = kN

6.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_AC = kN

7.框架与机器中等

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 2.4 m，顶部销钉 C 高 4 m，水平拉杆 DE 距地面 1.2 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.9 m，作用 6 kN 的竖直载荷。求拉杆中的拉力 T。

P = 6 kNAB = 2.4 mC 的高度 = 4 mDE 的高度 = 1.2 mA 到 K 的水平距离 = 0.9 m

T = kN

8.框架与机器困难

图示墙架的梁 AB 在 A 处铰接，并由撑杆 CD 支撑（C 在 A 下方 0.75 m）。梁在全长上承受 5 kN/m 的均布载荷，在自由端 B 承受 4 kN 的集中载荷。求撑杆中的力 F_CD。

w = 5 kN/mP = 4 kNAD = 0.8 mAB = 2.5 mAC = 0.75 m

F_CD = kN

9.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 6 m

V_x = kN

10.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 45 kN 位于 3.5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3溶液

1.向量：点积和叉积

答案: θ = 86.94 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 2·(−4) + 1·0 + (−3)·(−3) = 1

模

|a| = √(2² + 1² + (−3)²) = 3.742

|b| = √((−4)² + 0² + (−3)²) = 5

相角

cos θ = 1/(3.742·5) = 0.05345

θ = arccos(0.05345) = 86.94°

答案

θ = 86.94°

2.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −3

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·3 − 0·0 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−5) − (−3)·3 = 9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·0 − (−1)·(−5) = −5

所求分量

(a × b)_x = −3

答案

(a × b)_x = −3

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

3.梁的支座反力

答案: R_A = 7.857 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 70·3 + 75·10

R_B = 960/7 = 137.1 kN

竖向平衡

R_A = 70 + 75 − 137.1 = 7.857 kN

答案

R_A = 7.857 kN

4.梁的支座反力

答案: R_B = 48.57 kN

分布荷载的合力

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 40·1 + 40·7.5

R_B = 340/7 = 48.57 kN

R_A = 80 − 48.57 = 31.43 kN

答案

R_B = 48.57 kN

5.桁架：节点法

答案: F_AC = 17.5 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 5 = 35 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.2747 = −18.2 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18.2)·0.9615 = 17.5 kN

答案

F_AC = 17.5 kN (受拉)

6.桁架：节点法

答案: F_AC = 4.375 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 − 5·4 → C_y = 17.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 17.5 = 12.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17.5/0.9701 = −18.04 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18.04)·0.2425 = 4.375 kN

答案

F_AC = 4.375 kN (受拉)

7.框架与机器

答案: T = 0.9643 kN

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

整个框架：对 A 取矩

B_y = 6·0.9/2.4 = 2.25 kN

腿 BC：对 C 取矩

2.25·1.2 = T·2.8

T = 0.9643 kN

答案

T = 0.9643 kN

8.框架与机器

答案: F_CD = 46.83 kN

均布载荷的合力

w·L = 5·2.5 = 12.5 kN 位于 1.25 m

梁关于 A 的力矩

F_CD·0.6839·0.8 = 12.5·1.25 + 4·2.5 = 25.63 kN·m

F_CD = 46.83 kN

答案

F_CD = 46.83 kN

9.剪力和弯矩

答案: V_x = −24 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 48 − 12·6 = −24 kN

答案

V_x = −24 kN

10.剪力和弯矩

答案: M_x = 41.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3.5 + 5·5·2.5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 26·4 − 45·(4 − 3.5) − 5·4·2 = 41.5 kN·m

答案

M_x = 41.5 kN·m

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.24 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

腹板: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·285 + 5600·140)/7400 = 175.3 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·10³/12 + 1800·(285 − 175.3)² = 2.169 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 175.3)² = 4.355 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.169 × 10⁷ + 4.355 × 10⁷ = 6.524 × 10⁷ mm⁴ = 65.24 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.24 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 15.21 kN·m

形心

ȳ = (4800·135 + 2160·60)/6960 = 111.7 mm

上边缘: c = 150 − 111.7 = 38.28 mm

惯性矩

I = 160·30³/12 + 4800·23.28² + 18·120³/12 + 2160·51.72² = 1.133 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 60·1.133 × 10⁷/38.28 = 17.76 kN·m

下边缘: M = 150·1.133 × 10⁷/111.7 = 15.21 kN·m

控制值

M_allow = min = 15.21 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 15.21 kN·m

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