描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：10, 58, 26, 14, 39。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值高于 120 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 20x = 120
P =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 4
P =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.2k = 2
P =
5.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 77.5 和 127 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 77.5x2 = 127
P =
6.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 20%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 71，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。
n = 20x̄ = 71s = 1090%t(19) = 1.729
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 21。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 21E = 290%
n =
9.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 55，标准差 5.5。第 2 组：5 名学生，平均分 60.5，标准差 12。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 9x̄₁ = 55s₁ = 5.5n₂ = 5x̄₂ = 60.5s₂ = 12
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 7.5。实际上均值为 44.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 44.3σ = 7.5n = 25α = 0.01
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 106Σx² = 220Σy² = 2742Σxy = 776
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 36？
n = 6ŷ = 36
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 19.59
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 147/5 = 29.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−19.4)² + 28.6² + (−3.4)² + (−15.4)² + 9.6² = 1535
标准差
s = √(1535/4) = 19.59
答案
s = 19.59
2.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
3.概率
答案: P = 0.4242
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0.4242
答案
P = 0.4242
4.概率
答案: P = 0.2048
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 2) = 10·0.22·0.83 = 10·0.04·0.512 = 0.2048
答案
P = 0.2048
5.正态分布
答案: P = 0.8973
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (77.5 − 100)/15 = −1.5
z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8
中间面积
P = Φ(1.8) − Φ(−1.5) = 0.9641 − 0.06681 = 0.8973
答案
P = 0.8973
6.正态分布
答案: x = 56.58 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 65 + −0.8416·10 = 56.58 分
答案
x = 56.58 分
7.置信区间
答案: 下限 = 67.13
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 1.729
误差范围
E = 1.729·10/√20 = 3.866
区间
71 ± 3.866 → [67.13, 74.87]
答案
下限 = 67.13
8.置信区间
答案: n = 299
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·21/2)² = 298.3
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 299
答案
n = 299
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.194
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (8·5.5² + 4·12²)/12 = 68.17
sp = 8.256
标准误
SE = 8.256·√(1/9 + 1/5) = 4.605
检验统计量
t = (55 − 60.5)/4.605 = −1.194
答案
t = −1.194
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 92.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 50 − 2.326·1.5 = 46.51
真实均值下的 z
z = (46.51 − 44.3)/1.5 = 1.474
功率
功效 = P(Z < 1.474) = 92.98%
1 − β = 92.98%
答案
1 − β = 92.98%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9951
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 776 − 30·106/5 = 140
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2742 − 106²/5 = 494.8
相关系数
r = 140/√(40·494.8) = 0.9951
答案
r = 0.9951
12.线性回归与相关
答案: x = 3.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 255/6 = 42.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55.5
回归直线
b = 55.5/17.5 = 3.171
a = 42.5 − 3.171·5.5 = 25.06
ŷ = 25.06 + 3.171·x
解出 x
x = (36 − 25.06)/3.171 = 3.45
答案
x = 3.45
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1