描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：32, 17, 33, 43, 46, 12。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 42 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 12x = 42
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 10X + 5
σY =
5.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 246.25 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 246.25x2 = 251
P =
6.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.置信区间中等
测量 10 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.6，标准差为 5.6。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 10d̄ = 9.6sd = 5.695%t(9) = 2.262
下限 = mmHg
8.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0395%
n =
9.假设检验与置信区间中等
12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 6.24，差值的标准差为 9.4。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 12d̄ = 6.24sd = 9.4
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 83 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 55 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 55n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 15Σy = 321Σx² = 55Σy² = 20981Σxy = 1023
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 1.5 时的 ŷ。
n = 5x = 1.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.63
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 183/6 = 30.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 1.5² + (−13.5)² + 2.5² + 12.5² + 15.5² + (−18.5)² = 929.5
标准差
s = √(929.5/5) = 13.63
答案
s = 13.63
2.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (42 − 60)/12 = −1.5
答案
z = −1.5
3.概率
答案: σ = 0.8047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
答案
σ = 0.8047
4.概率
答案: σY = 8.047
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
线性变换
σY = |10|·0.8047 = 8.047
答案
σY = 8.047
均值确实会改变：E(Y) = 10·1.05 + 5 = 15.5。
5.正态分布
答案: P = 0.3526
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (246.25 − 250)/5 = −0.75
z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−0.75) = 0.5793 − 0.2266 = 0.3526
答案
P = 0.3526
6.正态分布
答案: x = 45.96 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min
答案
x = 45.96 min
7.置信区间
答案: 下限 = 5.594 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 9, t = 2.262
误差范围
E = 2.262·5.6/√10 = 4.006
区间
9.6 ± 4.006 → [5.594, 13.61]
答案
下限 = 5.594 mmHg
8.置信区间
答案: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067
向上取整
n = 1068
答案
n = 1068
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 9.4/√12 = 2.714
检验统计量
t = 6.24/2.714 = 2.3
答案
t = 2.3
df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = −1.978
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 83/150 = 0.5533
p̂₂ = 55/80 = 0.6875
p̂ = 138/230 = 0.6
H₀ 下的标准误
SE = √(0.6·0.4·(1/150 + 1/80)) = 0.06782
检验统计量
z = (0.5533 − 0.6875)/0.06782 = −1.978
答案
z = −1.978
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9827
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1023 − 15·321/5 = 60
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 20981 − 321²/5 = 372.8
相关系数
r = 60/√(10·372.8) = 0.9827
答案
r = 0.9827
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 25.3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 101/5 = 20.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
回归直线
b = −34/10 = −3.4
a = 20.2 − (−3.4)·3 = 30.4
ŷ = 30.4 − 3.4·x
预测
ŷ = 30.4 + (−3.4)·1.5 = 25.3
答案
ŷ = 25.3
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