描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：18, 43, 38, 38, 55。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值高于 480 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 25x = 480
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.3, 0.15
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 10X − 3。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 10X − 3
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 172.4 和 192.35 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 172.4x2 = 192.35
P =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.4，标准差为 4.2。 求平均差值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 7d̄ = 8.4sd = 4.299%t(6) = 3.707
E = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 24E = 1.595%
n =
9.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 118.8，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 118.8s = 4n = 81
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 202.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 202.5σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 69？
n = 6ŷ = 69
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.35
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 192/5 = 38.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−20.4)² + 4.6² + (−0.4)² + (−0.4)² + 16.6² = 713.2
标准差
s = √(713.2/4) = 13.35
答案
s = 13.35
2.描述统计
答案: P = 0.7881
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
3.概率
答案: Var(X) = 1.188
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.25
平方的均值
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.25
方差
Var(X) = 6.25 − 2.25² = 1.188
答案
Var(X) = 1.188
4.概率
答案: σY = 8.367
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1, Var(X) = 0.7, σX = 0.8367
线性变换
σY = |10|·0.8367 = 8.367
答案
σY = 8.367
均值确实会改变：E(Y) = 10·1 − 3 = 7。
5.正态分布
答案: P = 0.768
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8
z₂ = (192.35 − 178)/7 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−0.8) = 0.9798 − 0.2119 = 0.768
答案
P = 0.768
6.正态分布
答案: x = 551.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
答案
x = 551.26 h
7.置信区间
答案: E = 5.885 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·4.2/√7 = 5.885
答案
E = 5.885 mmHg
8.置信区间
答案: n = 984
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·24/1.5)² = 983.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 984
答案
n = 984
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
检验统计量
t = (118.8 − 120)/0.4444 = −2.7
答案
t = −2.7
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 25.95 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 200 + 1.645·2.5 = 204.1
真实均值下的 z
z = (204.1 − 202.5)/2.5 = 0.645
功率
功效 = P(Z > 0.645) = 25.95%
1 − β = 25.95%
答案
1 − β = 25.95%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9841
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 188/5 = 37.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 279.2
相关系数
r = 104/√(40·279.2) = 0.9841
答案
r = 0.9841
12.线性回归与相关
答案: x = 3.549
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 444/6 = 74
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
回归直线
b = 92/17.5 = 5.257
a = 74 − 5.257·4.5 = 50.34
ŷ = 50.34 + 5.257·x
解出 x
x = (69 − 50.34)/5.257 = 3.549
答案
x = 3.549
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1