描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：29, 17, 45, 14, 10, 44, 37。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值低于 174.8 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 12x = 174.8
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.25, 0.05, 0.3
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €20，以概率 0.05 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€20: p = 0.15€200: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1379。求 z，保留两位小数。
A = 0.1379
z =
6.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
7.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 30，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 30x̄ = 30s = 795%t(29) = 2.045
E =
8.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 0.6 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 0.6 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 16。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 121.64。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ > 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 121.64H₁: μ > μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 94.3。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 94.3σ = 15n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 6x = 9
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.54
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 196/7 = 28
离差平方
Σ(x − x̄)² = 1² + (−11)² + 17² + (−14)² + (−18)² + 16² + 9² = 1268
标准差
s = √(1268/6) = 14.54
答案
s = 14.54
2.描述统计
答案: P = 0.6554
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
答案
P = 0.6554
3.概率
答案: σ = 1.549
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.4
方差
Var(X) = 6.4 − 2² = 2.4
σ = √2.4 = 1.549
答案
σ = 1.549
4.概率
答案: E(G) = 3 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 10 (p = 0.15), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 10·0.15 + 190·0.05 − 10·0.8 = 3 €
答案
E(G) = 3 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 1.09
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.1379 = 0.8621
反向查 z 表
在表中找到 0.8621，读出 z。
z = 1.09
答案
z = 1.09
6.正态分布
答案: P = 0.9868
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22
概率
P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868
答案
P = 0.9868
7.置信区间
答案: E = 2.614
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.045
误差范围
E = 2.045·7/√30 = 2.614
答案
E = 2.614
8.置信区间
答案: σ = 0.9462 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·0.6² = 5.04
σ² 的限值
5.04/26.119 = 0.193
5.04/5.629 = 0.8954
σ 的限值
σ = √0.8954 = 0.9462 µm
答案
σ = 0.9462 µm
σ 的 95% 区间：[0.4393, 0.9462] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.2061
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (121.64 − 120)/2 = 0.82
尾部面积
Φ(0.82) = 0.7939
1 − Φ(0.82) = 0.2061
p 值
p = 0.2061
答案
p = 0.2061
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 60.06 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 − 1.645·3 = 95.06
真实均值下的 z
z = (95.06 − 94.3)/3 = 0.255
功率
功效 = P(Z < 0.255) = 60.06%
1 − β = 60.06%
答案
1 − β = 60.06%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9839
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 317/5 = 63.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 301.2
相关系数
r = 54/√(10·301.2) = 0.9839
答案
r = 0.9839
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 18.86
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 89/6 = 14.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 141
回归直线
b = 141/70 = 2.014
a = 14.83 − 2.014·7 = 0.7333
ŷ = 0.7333 + 2.014·x
预测
ŷ = 0.7333 + 2.014·9 = 18.86
答案
ŷ = 18.86
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