描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：42, 14, 37, 54, 19。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。数值高于 130 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 20x = 130
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.2Y = 3X + 5
σY =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 452 和 582 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 582
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.置信区间中等
测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.8，标准差为 4.3。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 11d̄ = 3.8sd = 4.395%t(10) = 2.228
下限 = mmHg
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.8 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p ≈ 0.8E = 0.0590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 205.3，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 205.3s = 10n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 83.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 83.5σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 87Σx² = 364Σy² = 1569Σxy = 754
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 57？
n = 5ŷ = 57
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 16.54
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 166/5 = 33.2
离差平方
Σ(x − x̄)² = 8.8² + (−19.2)² + 3.8² + 20.8² + (−14.2)² = 1095
标准差
s = √(1095/4) = 16.54
答案
s = 16.54
2.描述统计
答案: P = 0.9772
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答案
P = 0.9772
3.概率
答案: Var(X) = 2.29
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.2 + 5·0.2 = 2.9
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.2 + 25·0.2 = 10.7
方差
Var(X) = 10.7 − 2.9² = 2.29
答案
Var(X) = 2.29
4.概率
答案: σY = 3.324
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.15, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
线性变换
σY = |3|·1.108 = 3.324
答案
σY = 3.324
均值确实会改变：E(Y) = 3·2.15 + 5 = 11.45。
5.正态分布
答案: P = 0.8647
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2
z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05
中间面积
P = Φ(2.05) − Φ(−1.2) = 0.9798 − 0.1151 = 0.8647
答案
P = 0.8647
6.正态分布
答案: x = 185.3 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.85
由表得到的 z
z ≈ 1.04
回到原来的单位
x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm
答案
x = 185.3 cm
7.置信区间
答案: 下限 = 0.9114 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·4.3/√11 = 2.889
区间
3.8 ± 2.889 → [0.9114, 6.689]
答案
下限 = 0.9114 mmHg
8.置信区间
答案: n = 174
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.8·0.2/0.05² = 173.2
向上取整
n = 174
答案
n = 174
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.12
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (205.3 − 200)/2.5 = 2.12
答案
t = 2.12
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 40.32 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 80 + 1.645·2.5 = 84.11
真实均值下的 z
z = (84.11 − 83.5)/2.5 = 0.245
功率
功效 = P(Z > 0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
答案
1 − β = 40.32%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9883
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 754 − 42·87/6 = 145
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1569 − 87²/6 = 307.5
相关系数
r = 145/√(70·307.5) = 0.9883
答案
r = 0.9883
12.线性回归与相关
答案: x = 4.462
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 276/5 = 55.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
回归直线
b = 39/10 = 3.9
a = 55.2 − 3.9·4 = 39.6
ŷ = 39.6 + 3.9·x
解出 x
x = (57 − 39.6)/3.9 = 4.462
答案
x = 4.462
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