描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：38, 23, 52, 35, 52。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。求成绩 90 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 20x = 90
z =
3.概率中等
从 10 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 10k = 3
N =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 10。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05Y = 5X + 10
σY =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 1288 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1288 kg
P =
6.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分90%
x = 分
7.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 99，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 9x̄ = 99s = 19.599%t(8) = 3.355
下限 =
8.置信区间困难
总体标准差为 14。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 14E = 399%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 1.57，差值的标准差为 5.7。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 16d̄ = 1.57sd = 5.7
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 4。实际上均值为 99.4。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 99.4σ = 4n = 64α = 0.10
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (24, 68)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(24, 68)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.31
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 200/5 = 40
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−17)² + 12² + (−5)² + 12² = 606
标准差
s = √(606/4) = 12.31
答案
s = 12.31
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (90 − 60)/20 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: N = 120
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
答案
N = 120
4.概率
答案: σY = 4.359
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 1.2, Var(X) = 0.76, σX = 0.8718
线性变换
σY = |5|·0.8718 = 4.359
答案
σY = 4.359
均值确实会改变：E(Y) = 5·1.2 + 10 = 16。
5.正态分布
答案: P = 0.9332
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
标准化
z = (1288 − 1360)/48 = −1.5
概率
P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332
答案
P = 0.9332
6.正态分布
答案: x = 52.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 65 − 1.28·10 = 52.2 分
答案
x = 52.2 分
7.置信区间
答案: 下限 = 77.19
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 3.355
误差范围
E = 3.355·19.5/√9 = 21.81
区间
99 ± 21.81 → [77.19, 120.8]
答案
下限 = 77.19
8.置信区间
答案: n = 145
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·14/3)² = 144.5
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 145
答案
n = 145
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.102
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 5.7/√16 = 1.425
检验统计量
t = 1.57/1.425 = 1.102
答案
t = 1.102
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 46.73 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 100 − 1.282·0.5 = 99.36
真实均值下的 z
z = (99.36 − 99.4)/0.5 = −0.082
功率
功效 = P(Z < −0.082) = 46.73%
1 − β = 46.73%
答案
1 − β = 46.73%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9479
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 503/6 = 83.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 697.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3259
决定系数
r² = 697.5²/(157.5·3259) = 0.9479
答案
r² = 0.9479
y 的变异中约有 94.79% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = −3.043
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 345/6 = 57.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237
回归直线
b = 237/70 = 3.386
a = 57.5 − 3.386·20 = −10.21
ŷ = −10.21 + 3.386·x
预测值
ŷ = −10.21 + 3.386·24 = 71.04
残差
e = 68 − 71.04 = −3.043
答案
e = −3.043
该点位于直线下方。
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1