描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：60, 34, 22, 40, 59, 40。
n = 6
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。求成绩 68 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 12x = 68
z =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.3
σ =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €3，以概率 0.01 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€3: p = 0.25€10: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量低于 193.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16< 193.6 kg
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 70% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
7.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 81.5 h，已知标准差 11 h。型号 2：100 部手机，均值 89 h，已知标准差 6 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 60x̄₁ = 81.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 89 hσ₂ = 6 h99%
下限 = h
8.置信区间困难
10 根机加工轴的直径样本标准差为 5.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。
n = 10s = 5.7 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −5.64，差值的标准差为 11.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = −5.64sd = 11.3
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 45 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 8 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 8n₂ = 200
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 88？
n = 6ŷ = 88
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 14.72
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 255/6 = 42.5
离差平方
Σ(x − x̄)² = 17.5² + (−8.5)² + (−20.5)² + (−2.5)² + 16.5² + (−2.5)² = 1084
标准差
s = √(1084/5) = 14.72
答案
s = 14.72
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (68 − 50)/12 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: σ = 1.161
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.25 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.3 = 1.55
平方的均值
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.3 = 3.75
方差
Var(X) = 3.75 − 1.55² = 1.348
σ = √1.348 = 1.161
答案
σ = 1.161
4.概率
答案: E(G) = −0.15 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 2 (p = 0.25), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)
期望值
E(G) = 2·0.25 + 9·0.01 − 1·0.74 = −0.15 €
答案
E(G) = −0.15 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: P = 0.6915
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 192 kg, σT = 0.8·√16 = 3.2 kg
标准化
z = (193.6 − 192)/3.2 = 0.5
概率
P = Φ(0.5) = 0.6915
答案
P = 0.6915
6.正态分布
答案: x = 247.4 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 250 − 0.52·5 = 247.4 g
答案
x = 247.4 g
7.置信区间
答案: 下限 = −11.47 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 81.5 − 89 = −7.5
标准误
SE = √(11²/60 + 6²/100) = 1.542
误差范围
E = 2.576·1.542 = 3.971
区间
−7.5 ± 3.971 → [−11.47, −3.529]
答案
下限 = −11.47 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
8.置信区间
答案: σ = 3.921 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 9·5.7² = 292.4
σ² 的限值
292.4/19.023 = 15.37
292.4/2.7 = 108.3
σ 的限值
σ = √15.37 = 3.921 µm
答案
σ = 3.921 µm
σ 的 95% 区间：[3.921, 10.41] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 11.3/√13 = 3.134
检验统计量
t = −5.64/3.134 = −1.8
答案
t = −1.8
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 3.914
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 45/300 = 0.15
p̂₂ = 8/200 = 0.04
p̂ = 53/500 = 0.106
H₀ 下的标准误
SE = √(0.106·0.894·(1/300 + 1/200)) = 0.0281
检验统计量
z = (0.15 − 0.04)/0.0281 = 3.914
答案
z = 3.914
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9223
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 241/6 = 40.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 190.8
决定系数
r² = 55.5²/(17.5·190.8) = 0.9223
答案
r² = 0.9223
y 的变异中约有 92.23% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 9.045
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 457/6 = 76.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405
回归直线
b = 405/70 = 5.786
a = 76.17 − 5.786·7 = 35.67
ŷ = 35.67 + 5.786·x
解出 x
x = (88 − 35.67)/5.786 = 9.045
答案
x = 9.045
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