统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 28, 13, 34, 21。

n = 5

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 76 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 76

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.3, 0.05

Var(X) =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 0.5X + 1

σ_Y =

5.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 164.35 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 164.35x₂ = 190.95

P =

6.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 84，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 20x̄ = 84s = 16.590%t(19) = 1.729

上限 =

8.置信区间困难

总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 30E = 390%

n =

9.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 54.5 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 49.7 mm，已知标准差为 12 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 54.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 49.7 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 10 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 10n₂ = 80

z =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 103？

n = 5ŷ = 103

x =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 8.62

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 128/5 = 25.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6.4² + 2.4² + (−12.6)² + 8.4² + (−4.6)² = 297.2

标准差

s = √(297.2/4) = 8.62

答案

s = 8.62

2.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

3.概率

答案: Var(X) = 1.74

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.05 = 1.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.05 = 4.3

方差

Var(X) = 4.3 − 1.6² = 1.74

答案

Var(X) = 1.74

4.概率

答案: σ_Y = 0.4183

X 的离散程度

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

线性变换

σ_Y = |0.5|·0.8367 = 0.4183

答案

σ_Y = 0.4183

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1 + 1 = 1.5。

5.正态分布

答案: P = 0.9423

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (164.35 − 178)/7 = −1.95

z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−1.95) = 0.9678 − 0.02559 = 0.9423

答案

P = 0.9423

6.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

7.置信区间

答案: 上限 = 90.38

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 1.729

误差范围

E = 1.729·16.5/√20 = 6.379

区间

84 ± 6.379 → [77.62, 90.38]

答案

上限 = 90.38

8.置信区间

答案: n = 271

解出 n

n = (1.645·30/3)² = 270.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 271

答案

n = 271

9.假设检验与置信区间

答案: z = 2.087

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(17²/100 + 12²/60) = √5.29 = 2.3

检验统计量

z = (54.5 − 49.7)/2.3 = 2.087

答案

z = 2.087

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: z = 2.165

样本比例

p̂₁ = 30/120 = 0.25

p̂₂ = 10/80 = 0.125

p̂ = 40/200 = 0.2

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2·0.8·(1/120 + 1/80)) = 0.05774

检验统计量

z = (0.25 − 0.125)/0.05774 = 2.165

答案

z = 2.165

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.9389

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 72

决定系数

r² = 52²/(40·72) = 0.9389

答案

r² = 0.9389

y 的变异中约有 93.89% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: x = 20.98

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 544/5 = 108.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

回归直线

b = 228/40 = 5.7

a = 108.8 − 5.7·22 = −16.6

ŷ = −16.6 + 5.7·x

解出 x

x = (103 − (−16.6))/5.7 = 20.98

答案

x = 20.98

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